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成色18k.8.35mb菠萝é™¶å“²è½©ä¸“è®¿ï¼šæ•°å­¦è¯æ˜Žä¸Žäººå·¥æ™ºèƒ½çš„æœªæ¥ “ç†è®ºæ˜¯å¯¹å®‡å®™çš„一ç§åŽ‹ç¼©â€ 6.5万字全文+视频

ã€åŸŽä¸»è¯´ã€‘陶哲轩被誉为当今世界最天æ‰çš„æ•°å­¦å®¶ï¼Œâ€œæ•°å­¦ç•ŒèŽ«æ‰Žç‰¹â€ï¼Œã€‚è¿™ä½è²å°”兹奖与数学çªç ´å¥–得主,其工作的广度与深度常被拿æ¥ä¸Žç™¾å¹´å‰çš„巨人希尔伯特相æå¹¶è®ºã€‚ç„¶è€Œï¼Œåœ¨ä¸€ä¸ªäººå·¥æ™ºèƒ½ä»¥å‰æ‰€æœªæœ‰çš„速度渗é€è¿›äººç±»æ™ºåŠ›æ´»åŠ¨æœ€å‰æ²¿çš„æ—¶ä»£ï¼Œå³ä¾¿æ˜¯é™¶å“²è½©è¿™æ ·çš„å¤§è„‘ï¼Œä¹Ÿåœ¨é‡æ–°æ€è€ƒæ•°å­¦çš„æœ¬è´¨ã€è¯æ˜Žçš„å½¢æ€ä»¥åŠæœªæ¥çš„研究范å¼ã€‚ 在这场与莱克斯·弗里德曼的对è¯ä¸­ï¼Œé™¶å“²è½©æŠ›å‡ºäº†ä¸€ç³»åˆ—æžå…·é¢ è¦†æ€§çš„观点。其中最核心的,或许是他对ç†è®ºæœ¬è´¨çš„精辟概括:一个好的ç†è®ºï¼Œå°±æ˜¯å¯¹çŽ°å®žä¸–ç•Œçš„ä¸€ç§æžè‡´é«˜æ•ˆçš„“压缩â€â€”â€”ç”¨æœ€å°‘çš„å‚æ•°ï¼Œè§£é‡Šæœ€å¤šçš„观测。这个看似简å•的比喻,ä¸ä»…æ­ç¤ºäº†ä»Žçº³ç»´-斯托克斯方程到广义相对论等物ç†éš¾é¢˜çš„æ ¸å¿ƒï¼Œä¹Ÿä¸ºæˆ‘们ç†è§£äººå·¥æ™ºèƒ½åœ¨æœªæ¥ç§‘å­¦å‘现中的角色,æä¾›äº†ä¸€ä¸ªå…¨æ–°çš„视角。当机器开始辅助甚至独立探索时,我们如何判断一个新“ç†è®ºâ€çš„优劣?陶哲轩的答案,å¯èƒ½å°±è—在这“压缩效率â€ä¹‹ä¸­ã€‚ 对于普通人而言,数学难题往往æ„å‘³ç€æ— å°½çš„夿‚计算。但在陶哲轩看æ¥ï¼ŒçœŸæ­£å›°éš¾ä¸”有趣的问题,其核心魅力在于其内在的结构性矛盾。他以著å的“百万美元难题â€â€”—纳维-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations)为例,æ­ç¤ºäº†è¿™ç±»é—®é¢˜çš„æ·±å±‚困境。这个支é…ç€æµä½“è¿åŠ¨çš„æ–¹ç¨‹ï¼Œå…¶éš¾ç‚¹åœ¨äºŽï¼Œæˆ‘ä»¬æ— æ³•ä»Žæ•°å­¦ä¸Šå®Œå…¨æŽ’é™¤ä¸€ç§æžç«¯æƒ…况:能é‡é€šè¿‡ä¸€ç§è¯¡å¼‚的“阴谋â€ï¼Œä¸æ–­ä»Žå¤§å°ºåº¦é›†ä¸­åˆ°è¶Šæ¥è¶Šå°çš„尺度,最终导致速度å˜ä¸ºæ— é™çš„“爆破â€ï¼ˆblow-up)。 è¿™ç§çŽ°è±¡ï¼Œé™¶å“²è½©ç”¨äº†ä¸€ä¸ªç»å¦™çš„类比æ¥è§£é‡Šï¼šéº¦å…‹æ–¯éŸ¦å¦–ã€‚è¿™æ˜¯ä¸€ä¸ªæ€æƒ³å®žéªŒä¸­çš„â€œå°æ¶é­”â€ï¼Œå®ƒèƒ½ä»¥ä¸€ç§è¿èƒŒç»Ÿè®¡å­¦è§„å¾‹çš„æ–¹å¼æ“纵粒å­ï¼Œå¯¼è‡´ç³»ç»Ÿå‡ºçްæžä¸å¯èƒ½çš„æœ‰åºçжæ€ã€‚在æµä½“力学中,这个“æ¶é­”â€å°±æ˜¯ä¸€ç§æ½œåœ¨çš„自组织机制,它能抵抗ä½ä½¿æµä½“趋于平é™çš„黿€§åŠ›ï¼Œå°†èƒ½é‡æ±‡èšäºŽä¸€ç‚¹ã€‚ 那么,回到纳维-斯托克斯方程,æµä½“具有一定é‡çš„能é‡ã€‚而由于æµä½“处于è¿åŠ¨çŠ¶æ€ï¼Œèƒ½é‡ä¼šéšä¹‹ä¼ è¾“...但潜在地存在æŸç§â€œæ¶é­”â€ï¼Œä¸æ–­å°†æµä½“çš„èƒ½é‡æŽ¨å‘è¶Šæ¥è¶Šå°çš„尺度。它会移动得越æ¥è¶Šå¿«...å¯èƒ½ä¼šå‡ºçŽ°ä¸€ç§æ‰€è°“çš„è‡ªç›¸ä¼¼çˆ†å‘æƒ…æ™¯ï¼Œå³æµä½“的能é‡ä»ŽæŸä¸ªå¤§å°ºåº¦å¼€å§‹ï¼Œç„¶åŽå°†å…¶å…¨éƒ¨èƒ½é‡ä¼ é€’到一个更å°çš„æµä½“åŒºåŸŸï¼ŒæŽ¥ç€ä»¥æ›´å¿«çš„速度进入一个甚至更å°çš„区域...能é‡å®žé™…上å¯ä»¥åœ¨æœ‰é™æ—¶é—´å†…会èšåˆ°ä¸€ç‚¹ã€‚ é¢å¯¹è¿™ç§çœ‹ä¼¼æ— æ³•攻破的难题,陶哲轩展现了他作为“ç‹ç‹¸åž‹â€æ•°å­¦å®¶çš„典型策略:与其正é¢ç¡¬æ”»ï¼Œä¸å¦‚战略性“作弊â€ã€‚他通过修改物ç†å®šå¾‹ï¼Œå…³é—­äº†æ–¹ç¨‹ä¸­æŸäº›ä½¿èƒ½é‡åˆ†æ•£çš„“通é“â€ï¼Œäººä¸ºåœ°åˆ›é€ äº†ä¸€ä¸ªæ›´å®¹æ˜“å‘生“爆破â€çš„ç®€åŒ–æ¨¡åž‹ã€‚è¿™ä¸ªæ¨¡åž‹è™½ç„¶ä¸æ˜¯çœŸå®žä¸–界,但它的存在本身就构æˆäº†ä¸€é““障ç¢â€ï¼Œå®ƒå‘Šè¯‰æ‰€æœ‰è¯•å›¾è¯æ˜Žâ€œçˆ†ç ´æ°¸ä¸å‘生â€çš„æ•°å­¦å®¶ï¼šä½ ä»¬çš„è¯æ˜Žï¼Œå¿…须利用到真实方程中那些被我关闭掉的ã€å¾®å¦™çš„特性。 而这个过程,将他的æ€ç»´å¼•å‘了一个更为大胆的奇想:构建一å°â€œæµä½“计算机â€ã€‚ä»–æ„识到,如果能通过设计特定的æµä½“åˆå§‹å½¢æ€ï¼Œè®©æ°´æµçš„ç¢°æ’žæ¨¡æ‹Ÿå‡ºé€»è¾‘é—¨ï¼ˆä¸Žé—¨ã€æˆ–门),那么原则上,就å¯ä»¥ç”¨æµä½“构建一å°å›¾çµæœºã€‚è¿™å°â€œæ°´æœ‹å…‹â€å¼çš„计算机,å¯ä»¥è¢«ç¼–ç¨‹æ¥æ‰§è¡Œä¸€ä¸ªä»»åŠ¡ï¼šåˆ›é€ ä¸€ä¸ªæ›´å°ã€æ›´å¿«çš„自身副本,然åŽå°†æ‰€æœ‰èƒ½é‡ä¼ é€’给它并“关闭â€è‡ªå·±ã€‚è¿™ä¸ªè¿‡ç¨‹ä¸æ–­è¿­ä»£ï¼Œå°±å°†æž„æˆä¸€ä¸ªçœŸæ­£çš„“爆破â€è§£ã€‚ 所以我æ„è¯†åˆ°ï¼Œå¦‚æžœä½ èƒ½å¯¹å®žé™…æ–¹ç¨‹å®žçŽ°åŒæ ·çš„事情,也就是说如果水的方程支æŒè®¡ç®—...ä½ å¯ä»¥å°†å®ƒä»¬ä¸²è”èµ·æ¥ï¼Œæˆ–许就能创造出一å°å›¾çµæœºã€‚这样你就能拥有完全由水构æˆçš„计算机了...æ‰€ä»¥å¦‚æžœä½ èƒ½å»ºé€ ä¸€å°æµä½“æœºå™¨ï¼Œå®ƒå°±æ˜¯ä¸€å°æµä½“机器人。它的作用...是被编程为会以æŸç§â€œå†·â€çжæ€åˆ›é€ å‡ºè‡ªèº«çš„æ›´å°ç‰ˆæœ¬...这个é…置好的水体形æ€çš„大机器人会将其所有能é‡è½¬ç§»ç»™æ›´å°çš„é…置体,然åŽå…³é—­ã€‚ç„¶åŽå‰©ä¸‹çš„å°±æ˜¯è¿™ç§æœ€æ–°çš„状æ€ï¼Œå®ƒä¼šéšåŽå¯åЍ并åšåŒæ ·çš„事情,但更å°ã€æ›´å¿«ã€‚ 从一个ç»å…¸çš„å微分方程问题,到构造一个“作弊â€çš„玩具模型,å†åˆ°è®¾æƒ³ä¸€å°èƒ½è‡ªæˆ‘å¤åˆ¶çš„“æµä½“计算机â€â€”—这个æ€ç»´è·¯å¾„,完美展现了陶哲轩的解题艺术:ä¸ç•æƒ§é—®é¢˜çš„å¤æ‚性,而是通过跨领域的类比(从热力学到计算ç†è®ºï¼‰ï¼ŒåŽ»å¯»æ‰¾å’Œæž„å»ºç†è§£é—®é¢˜æœ¬è´¨çš„全新框架。 在陶哲轩的数学观中,存在一个åå¤å‡ºçŽ°çš„æ ¸å¿ƒä¸»é¢˜ï¼Œä¸€ä¸ªæ·±åˆ»çš„äºŒå…ƒå¯¹ç«‹ï¼šç»“æž„ï¼ˆStructureï¼‰ä¸Žéšæœºï¼ˆRandomness)。他认为,数学中ç»å¤§å¤šæ•°å¯¹è±¡ï¼Œæ¯”如圆周率的数字,看起æ¥éƒ½æ˜¯éšæœºçš„ï¼Œä¸å…·å¤‡ä»»ä½•明显规律。然而,数学家花费大é‡ç²¾åŠ›ç ”ç©¶çš„ï¼Œå¾€å¾€æ˜¯é‚£äº›ç½•è§çš„ã€å…·æœ‰ä¼˜ç¾Žç»“æž„çš„å¯¹è±¡ã€‚è€Œæ•°å­¦ä¸­æœ€æ·±åˆ»ã€æœ€å›°éš¾çš„é—®é¢˜ï¼Œæ°æ°è¯žç”ŸäºŽè¿™ä¸¤è‚¡åŠ›é‡çš„交汇处。 自然数附带有两ç§åŸºæœ¬è¿ç®—:加法和乘法...ä»»ä½•åªæ¶‰åŠåŠ æ³•çš„è‡ªç„¶æ•°é—®é¢˜éƒ½ç›¸å¯¹å®¹æ˜“è§£å†³ï¼Œä»»ä½•åªæ¶‰åŠä¹˜æ³•的问题也相对容易解决。但令人沮丧的是,当你将两者结åˆèµ·æ¥æ—¶ï¼Œçªç„¶é—´ä½ å°±å¾—åˆ°äº†è¿™ç§æžå…¶ä¸°å¯Œâ€¦çš„结构。å³ä½¿æ˜¯æœ€ç®€å•的问题,如果它们将乘性事物(例如质数)与加性事物(例如åç§»2)结åˆèµ·æ¥...将这两者关è”èµ·æ¥ä¸€ç›´å¼‚常困难。 è´¨æ•°ç”±ä¹˜æ³•å®šä¹‰ï¼Œå…¶åˆ†å¸ƒçœ‹èµ·æ¥æžå…¶éšæœºï¼›è€Œâ€œç›¸å·®2â€åˆ™æ˜¯ä¸€ä¸ªçº¯ç²¹çš„åŠ æ³•ç»“æž„ã€‚è¿™ä¸ªçŒœæƒ³ï¼Œæœ¬è´¨ä¸Šæ˜¯åœ¨é—®ä¸€ä¸ªéšæœºæ€§çš„æµ·æ´‹ï¼ˆè´¨æ•°ï¼‰ä¸­ï¼Œèƒ½å¦ç¨³å®šåœ°å‡ºçŽ°ä¸€ä¸ªç‰¹å®šçš„ç»“æž„ï¼ˆå­ªç”Ÿå¯¹ï¼‰ã€‚é™¶å“²è½©æŒ‡å‡ºï¼Œè¿™ç§æ¨¡å¼éžå¸¸â€œè„†å¼±â€ï¼Œä½ åªéœ€ä»Žç´ æ•°é›†åˆä¸­ç²¾å¿ƒåœ°ç§»é™¤æžå°‘æ•°æˆå‘˜ï¼Œå°±èƒ½è®©å­ªç”Ÿç´ æ•°çŒœæƒ³ä¸æˆç«‹ï¼ŒåŒæ—¶å‡ ä¹Žä¸æ”¹å˜ç´ æ•°æ•´ä½“的统计性质。这æ„味ç€ï¼Œä»»ä½•è¯æ˜Žéƒ½å¿…é¡»ä¾èµ–于素数æŸç§æžå…¶ç²¾ç»†ã€éžç»Ÿè®¡çš„内在属性。 与此相å,他和本·格林(Ben Greenï¼‰è¯æ˜Žçš„æ ¼æž—-陶定ç†ï¼Œåˆ™å¤„ç†äº†ä¸€ç§æ›´ä¸ºâ€œç¨³å¥â€çš„ç»“æž„â€”â€”ç­‰å·®æ•°åˆ—ã€‚ä»–ä»¬è¯æ˜Žï¼Œæ— è®ºä½ å¦‚ä½•éšæœºåœ°ä»Žç´ æ•°ä¸­å‰”除ç»å¤§éƒ¨åˆ†æˆå‘˜ï¼Œå‰©ä¸‹çš„集åˆé‡Œä¾ç„¶ä¼šåƒâ€œèŸ‘èž‚â€ä¸€æ ·ï¼Œé¡½å›ºåœ°å­˜åœ¨ä»»æ„长度的等差数列。 算术级数之所以åšä¸å¯æ‘§ï¼Œæ˜¯å› ä¸ºæ— è®ºä½ çš„集åˆçœ‹èµ·æ¥æ˜¯éšæœºçš„è¿˜æ˜¯æœ‰ç»“æž„çš„ï¼Œæ¯”å¦‚å‘¨æœŸæ€§çš„ï¼Œåœ¨è¿™ä¸¤ç§æƒ…况下,算术级数都会出现,但原因ä¸åŒã€‚这基本上就是这些定ç†çš„è¯æ˜Žæ–¹å¼ï¼Œè¿™ç±»ç®—æœ¯çº§æ•°å®šç†æœ‰å¾ˆå¤šè¯æ˜Žï¼Œå®ƒä»¬éƒ½æ˜¯é€šè¿‡æŸç§äºŒåˆ†æ³•è¯æ˜Žçš„,其中你的集åˆè¦ä¹ˆæ˜¯æœ‰ç»“构的,è¦ä¹ˆæ˜¯éšæœºçš„ï¼Œåœ¨è¿™ä¸¤ç§æƒ…况下,你都å¯ä»¥å¾—出一些结论...ä½†åœ¨å­ªç”Ÿç´ æ•°ä¸­ï¼Œå¦‚æžœè´¨æ•°æ˜¯éšæœºçš„,那么你就很高兴,你就赢了。但如果你的质数是有结构的,它们å¯ä»¥ä»¥ä¸€ç§ç‰¹å®šçš„æ–¹å¼æž„造,从而消除孪生素数。而且我们ä¸èƒ½æŽ’除那ç§é˜´è°‹ã€‚ è¿™ç§â€œè¦ä¹ˆæœ‰ç»“构,è¦ä¹ˆæ˜¯éšæœºâ€çš„äºŒåˆ†æ³•ï¼Œæ˜¯çŽ°ä»£æ•°å­¦ï¼Œå°¤å…¶æ˜¯ç»„åˆæ•°å­¦å’Œæ•°è®ºä¸­çš„ä¸€ä¸ªå¼ºå¤§æ€æƒ³ã€‚它å…è®¸æ•°å­¦å®¶å°†ä¸€ä¸ªå¤æ‚é—®é¢˜åˆ†è§£ä¸ºä¸¤ç§æƒ…å†µï¼šå¦‚æžœå¯¹è±¡æ˜¯éšæœºçš„,就用概率论的工具;如果对象是有结构的,就用代数或傅里å¶åˆ†æžç­‰å·¥å…·ã€‚æ— è®ºå“ªç§æƒ…况,都能å–得进展。这正是陶哲轩所说的“逆定ç†â€ï¼ˆInverse theorems)的å¨åŠ›æ‰€åœ¨â€”â€”å®ƒä»¬æä¾›äº†ä¸€ç§æ–¹æ³•ï¼ŒåŽ»æ£€éªŒä¸€ä¸ªçœ‹ä¼¼éšæœºçš„对象背åŽï¼Œæ˜¯å¦éšè—ç€æŸç§æ·±åˆ»çš„结构。 å¦‚æžœè¯´â€œç»“æž„ä¸Žéšæœºâ€æ˜¯æ•°å­¦ä¸–界的内在法则,那么人工智能(AI)和形å¼åŒ–è¯æ˜Žå·¥å…·ï¼Œåˆ™æ˜¯æ­£åœ¨é‡å¡‘其外在形æ€çš„é©å‘½æ€§åŠ›é‡ã€‚陶哲轩å¦è¨€ï¼Œè‡ªå·±æ­£æ·±åº¦å‚与这场å˜é©ï¼Œå°½ç®¡ä»–将目å‰ä¸ŽAIå作的体验形容为赶猫 herding cats——充满潜力,å´ä¹Ÿæžå…¶è€—费心力。 他所使用的核心工具是Lean,一ç§å½¢å¼åŒ–è¯æ˜Žè¯­è¨€ã€‚å®ƒèƒ½å°†æ•°å­¦è¯æ˜Žè½¬åŒ–为计算机å¯ä»¥100%验è¯çš„代ç ï¼Œä½†ä»£ä»·æ˜¯å·¨å¤§çš„ã€‚é™¶å“²è½©ä¼°è®¡ï¼Œå°†ä¸€ä¸ªäººç±»è¯æ˜Žå½¢å¼åŒ–,目å‰éœ€è¦èŠ±è´¹10å€çš„æ—¶é—´å’Œç²¾åŠ›ã€‚è¿™å°±åƒåœ¨å‘一个æžå…¶å¹æ¯›æ±‚疵的åŒäº‹è§£é‡Šä½ çš„论è¯ï¼Œä»–会质疑你的æ¯ä¸€ä¸ªå¾®å°æ­¥éª¤ã€‚ Lean是一ç§ä¹Ÿèƒ½åšåˆ°è¿™ä¸€ç‚¹çš„语言。它也å¯ä»¥ä½œä¸ºä¸€ç§æ ‡å‡†çš„传统语言è¿è¡Œï¼Œä½†å®ƒä¹Ÿå¯ä»¥ç”Ÿæˆè¯ä¹¦...Leanä¸ä»…能得出答案,还能æä¾›å®ƒæ˜¯å¦‚何得出7è¿™ä¸ªç­”æ¡ˆçš„è¯æ˜Ž...所以现在我估计,形å¼åŒ–ä¸€ä¸ªè¯æ˜Žæ‰€éœ€çš„æ—¶é—´å’Œç²¾åŠ›å¤§çº¦æ˜¯å°†å…¶å†™å‡ºæ¥æ‰€éœ€æ—¶é—´çš„10å€ã€‚是的,所以这是å¯è¡Œçš„,但你ä¸ä¼šâ€¦â€¦è¿™å¾ˆçƒ¦äººã€‚ 然而,这ç§çƒ¦äººçš„精确性,å´å¸¦æ¥äº†ä¸¤ä¸ªæ„想ä¸åˆ°çš„巨大优势。首先,它让大规模ã€å¯ä¿¡çš„å作æˆä¸ºå¯èƒ½ã€‚在一个涉åŠ50ä½ä½œè€…的庞大项目中,陶哲轩和他的åˆä½œè€…们利用Lean,将一个大问题分解为数百万个å°é—®é¢˜ï¼Œå¹¶è¿›è¡Œä¼—包。由于Leanä¿è¯äº†æ¯ä¸€ä»½è´¡çŒ®çš„ç»å¯¹æ­£ç¡®æ€§ï¼Œä»–们å¯ä»¥è¿›è¡Œâ€œæ— ä¿¡ä»»æ•°å­¦â€ï¼ˆtrustless mathï¼‰ï¼Œå³æŽ¥çº³ä»»ä½•äººçš„è´¡çŒ®è€Œæ— éœ€æ‹…å¿ƒå…¶å¯é æ€§ã€‚ 其次,它æžå¤§åœ°å¢žå¼ºäº†è¯æ˜Žçš„å¯ç»´æŠ¤æ€§ã€‚å½“ä¸€ä¸ªè¯æ˜Žä¸­çš„æŸä¸ªæ ¸å¿ƒå‚æ•°éœ€è¦è¢«æ›´æ–°æ—¶ï¼ˆä¾‹å¦‚,将一个常数从12改进为11),在传统的纸笔世界里,这将是一场ç¾éš¾ï¼Œéœ€è¦é€è¡Œæ£€æŸ¥æ•°ç™¾é¡µçš„论è¯ã€‚但在Lean中,编译器会自动标记出所有å—å½±å“的代ç è¡Œï¼Œå°†æ•°å‘¨çš„工作é‡åŽ‹ç¼©åˆ°ä¸€ä¸¤å¤©ã€‚ 陶哲轩åšä¿¡ï¼Œæˆ‘ä»¬æ­£å¤„åœ¨ä¸€ä¸ªç›¸å˜ phase transitionçš„å‰å¤œã€‚å°±åƒå½“å¹´LaTeXå–代所有其他排版工具一样,éšç€AIåŠ©æ‰‹çš„ä¸æ–­è¿›åŒ–(例如æä¾›æ›´æ™ºèƒ½çš„代ç è¡¥å…¨å’Œå¼•ç†æœç´¢ï¼‰ï¼Œå°†è¯æ˜Žå½¢å¼åŒ–çš„æˆæœ¬ä¸Žæ”¶ç›Šä¹‹æ¯”正在迅速å˜åŒ–。 但总有一天它会é™åˆ°1以下,那就是相å˜ã€‚因为çªç„¶é—´ï¼Œå†™è®ºæ–‡æ—¶å…ˆç”¨Lean写...å°±å˜å¾—有æ„义了...过去å‘ç”Ÿçš„ä¸€ç§æ­¤ç±»ç›¸å˜æ˜¯LaTeX的普åŠ...但在æŸä¸ªæ—¶é—´ç‚¹ï¼ŒLaTeXå˜å¾—比所有其他竞争对手都更容易使用,人们在几年内就转å‘äº†å®ƒã€‚é‚£åªæ˜¯ä¸€æ¬¡å‰§çƒˆçš„阶段性转å˜ã€‚ 他预测,到2026年,我们将看到由AI与人类åˆä½œå®Œæˆçš„ã€è¾¾åˆ°çœŸæ­£ç ”ç©¶çº§åˆ«çš„æ•°å­¦æˆæžœã€‚更长远看,AIæˆ–è®¸èƒ½é€šè¿‡åˆ†æžæµ·é‡æ•°æ®ï¼Œåœ¨ä¸¤ä¸ªçœ‹ä¼¼æ— å…³çš„领域之间å‘现全新的ã€ä¼˜ç¾Žçš„猜想——这被他认为是AI在短期内最å¯èƒ½å®žçŽ°çš„ã€çœŸæ­£éœ‡æ’¼äººå¿ƒçš„çªç ´ã€‚ 在访谈的最åŽï¼Œå½“被问åŠå¯¹æœªæ¥æŠ±æœ‰ä½•ç§å¸Œæœ›æ—¶ï¼Œé™¶å“²è½©çš„回答回到了教育和下一代。他认为,科学的进步就在于,“过去éžå¸¸å›°éš¾çš„问题å¯èƒ½ä¼šå˜å¾—å¾®ä¸è¶³é“...现在对我们æ¥è¯´ä¼¼ä¹Žä¸å¯è¡Œçš„事情,未æ¥å¯èƒ½åªæ˜¯å®¶åº­ä½œä¸šç»ƒä¹ ã€‚†莱克斯: 以下是与陶哲轩的对è¯ï¼Œä»–被广泛认为是历å²ä¸Šæœ€ä¼Ÿå¤§çš„æ•°å­¦å®¶ä¹‹ä¸€ï¼Œå¸¸è¢«ç§°ä¸ºæ•°å­¦ç•Œçš„莫扎特。他曾获得è²å°”兹奖和数学çªç ´å¥–,并在数学和物ç†å­¦çš„诸多令人惊å¹çš„领域åšå‡ºäº†å¼€åˆ›æ€§å·¥ä½œã€‚这对我æ¥è¯´æ˜¯å·¨å¤§çš„è£å¹¸ï¼ŒåŽŸå› æœ‰å¾ˆå¤šï¼Œå…¶ä¸­åŒ…æ‹¬æ³°ç‘žåœ¨ä¸Žæˆ‘æ‰€æœ‰çš„äº’åŠ¨ä¸­æ‰€å±•çŽ°å‡ºçš„è°¦é€Šå’Œå–„æ„。这æ„义é‡å¤§ã€‚这里是莱克斯·弗里德曼播客。 陶哲轩: å—¯ï¼Œæˆ‘çš„æ„æ€æ˜¯ï¼Œåœ¨æ‚¨çš„æœ¬ç§‘教育中,您会学到那些真正困难ã€çœ‹ä¼¼ä¸å¯èƒ½è§£å†³çš„问题,比如黎曼猜想ã€åŒç”Ÿè´¨æ•°çŒœæƒ³ã€‚ä½ å¯ä»¥æŠŠé—®é¢˜ä»»æ„åœ°å¤æ‚化。那算ä¸ä¸Šæ˜¯çœŸæ­£çš„问题。事实上,甚至有一些我们已知是无解的问题。真正有趣的是那些æ°å¥½ä»‹äºŽæˆ‘们相对容易解决和毫无希望之间边界上的问题,å³çŽ°æœ‰æŠ€æœ¯å¯ä»¥å®Œæˆçº¦90%的工作,而你åªéœ€è¦è¡¥è¶³å‰©ä¸‹10%的难题。 陶哲轩: 我认为,作为一ååšå£«ç”Ÿï¼ŒæŸ¿è°·é—®é¢˜æ— ç–‘引起了我的注æ„ã€‚äº‹å®žä¸Šï¼Œå®ƒåˆšåˆšè¢«è§£å†³äº†ã€‚è¿™æ˜¯æˆ‘åœ¨æ—©æœŸç ”ç©¶ä¸­å¤§é‡æ¶‰çŒŽçš„一个问题。从历å²ä¸Šçœ‹ï¼Œå®ƒæºäºŽæ—¥æœ¬æ•°å­¦å®¶æŸ¿è°·å®—一在大约1918å¹´æå‡ºçš„一个å°è°œé¢˜ã€‚ 陶哲轩: 把它想象æˆåœ¨è·¯ä¸Šå¼€è½¦ä¹‹ç±»çš„。并且你想执行一个U型转弯。你想调转指针的方å‘。但你想在尽å¯èƒ½å°çš„空间内完æˆå®ƒã€‚所以你想利用这å—å°åŒºåŸŸæ¥å°†å…¶è°ƒè½¬ã€‚但这个指针是无é™çµæ´»å¯æŽ§çš„。所以你å¯ä»¥æƒ³è±¡åªæ˜¯è®©å®ƒæ—‹è½¬èµ·æ¥ã€‚它是一根å•ä½é’ˆã€‚ä½ å¯ä»¥å›´ç»•其中心旋转它。我认为这会给你一个é¢ç§¯ä¸ºï¼Œæˆ‘想,四分之π的圆盘。或者你å¯ä»¥åšä¸€ä¸ªä¸‰ç‚¹æŽ‰å¤´ï¼Œè¿™å°±æ˜¯æˆ‘们在驾校教人们åšçš„。而那实际上å ç”¨äº†å…«åˆ†ä¹‹Ï€çš„é¢ç§¯ã€‚所以它比旋转ç¨å¾®æ›´æœ‰æ•ˆçŽ‡ã€‚å› æ­¤ï¼Œæœ‰ä¸€æ®µæ—¶é—´äººä»¬è®¤ä¸ºé‚£æ˜¯ä½¿ç‰©ä½“è°ƒè½¬æ–¹å‘æœ€æœ‰æ•ˆçš„æ–¹å¼ã€‚ 陶哲轩: 但è´å°”è¨ç§‘维奇(Bersakovich)指出,事实上,你åªéœ€ä½¿ç”¨ä»»æ„å°çš„é¢ç§¯å°±èƒ½ä½¿é’ˆè°ƒè½¬æ–¹å‘。比如0.001,你å¯ä»¥è¿›è¡ŒæŸç§éžå¸¸å¥‡ç‰¹çš„多次æ¥å›žæŽ‰å¤´æ“作,从而使针调转方å‘。这样åšçš„è¯ï¼Œå®ƒä¼šç»è¿‡æ¯ä¸€ä¸ªä¸­é—´æ–¹å‘。 陶哲轩: 这是在二维平é¢å†…å—?是在二维平é¢å†…。所以我们对二维空间中的一切都了如指掌。那么下一个问题是三维空间中会å‘生什么。那么å‡è®¾å“ˆå‹ƒå¤ªç©ºæœ›è¿œé•œæ˜¯å¤ªç©ºä¸­çš„一个管状物,而你想è¦è§‚测宇宙中的æ¯ä¸€é¢—æ’æ˜Ÿã€‚æ‰€ä»¥ä½ æƒ³è¦æ—‹è½¬æœ›è¿œé•œä»¥è¦†ç›–æ¯ä¸€ä¸ªæ–¹å‘。而这就是ä¸åˆ‡å®žé™…的部分。å‡è®¾ç©ºé—´éžå¸¸å®è´µï¼Œè€Œå®žé™…ä¸Šå®ƒå®Œå…¨ä¸æ˜¯ã€‚你想è¦å æ®å°½å¯èƒ½å°çš„体积,以便旋转你的“针â€çŠ¶ç‰©ï¼Œä»Žè€Œçœ‹åˆ°å¤©ç©ºä¸­æ¯ä¸€é¢—æ’æ˜Ÿã€‚你需è¦å¤šå°çš„体积æ‰èƒ½åšåˆ°è¿™ä¸€ç‚¹ï¼Ÿ 陶哲轩: 因此你å¯ä»¥ä¿®æ”¹è´å°”è¨ç§‘维奇的构造。那么如果你的望远镜是零厚度,那么你å¯ä»¥ä½¿ç”¨ä½ æ‰€éœ€è¦çš„å°½å¯èƒ½å°çš„体积。那是对二维构造的一个简å•ä¿®æ”¹ã€‚ä½†é—®é¢˜æ˜¯ï¼Œå¦‚æžœä½ çš„æœ›è¿œé•œä¸æ˜¯é›¶åŽšåº¦ï¼Œè€Œåªæ˜¯éžå¸¸éžå¸¸è–„,具有æŸä¸ªåŽšåº¦delta,那么è¦èƒ½å¤Ÿçœ‹åˆ°æ¯ä¸€ä¸ªæ–¹å‘所需的最å°ä½“积作为delta的函数是多少?éšç€å¾·å°”å¡”å˜å°ï¼Œéšç€é’ˆå˜ç»†ï¼Œä½“积应该下é™ã€‚但它下é™çš„速度有多快呢?猜想是它下é™å¾—éžå¸¸éžå¸¸æ…¢ï¼Œç²—ç•¥æ¥è¯´ï¼Œæ˜¯å‘ˆå¯¹æ•°å…³ç³»åœ°ä¸‹é™ã€‚ç»è¿‡å¤§é‡å·¥ä½œåŽï¼Œè¿™ä¸€ç‚¹å¾—åˆ°äº†è¯æ˜Žã€‚ 陶哲轩: 所以这看起æ¥åƒä¸€ä¸ªéš¾é¢˜ã€‚它为何如此引人关注?结果å‘现,它与åå¾®åˆ†æ–¹ç¨‹ã€æ•°è®ºã€å‡ ä½•å­¦ã€ç»„åˆå­¦ä¸­çš„è®¸å¤šé—®é¢˜éƒ½æœ‰ç€æƒŠäººçš„å…³è”。例如,在波传播中,你泼洒一些水,就会产生水波,它们会å‘å„个方å‘传播。但波既展现粒å­è¡Œä¸ºï¼Œä¹Ÿå±•现波动行为。所以你å¯ä»¥å¾—到所谓的波包,它就åƒä¸€ç§é«˜åº¦å±€åŸŸåŒ–çš„æ³¢ï¼Œåœ¨ç©ºé—´ä¸Šå±€åŸŸåŒ–ï¼Œå¹¶éšæ—¶é—´å‘æŸä¸ªç‰¹å®šæ–¹å‘ç§»åŠ¨ã€‚å› æ­¤ï¼Œå¦‚æžœä½ åœ¨ç©ºé—´å’Œæ—¶é—´ä¸Šç»˜åˆ¶å®ƒï¼Œå®ƒä¼šå æ®ä¸€ä¸ªçœ‹èµ·æ¥åƒç®¡çŠ¶çš„åŒºåŸŸã€‚ 陶哲-轩: 因此,å¯èƒ½å‘生的情况是,你å¯ä»¥æœ‰ä¸€ä¸ªæœ€åˆéžå¸¸åˆ†æ•£çš„æ³¢ï¼Œä½†åœ¨æ—¶é—´ç¨åŽï¼Œå®ƒä¼šå…¨éƒ¨èšç„¦äºŽä¸€ä¸ªå•点。你å¯ä»¥æƒ³è±¡å°†ä¸€é¢—çŸ³å­æŠ•å…¥æ± å¡˜ï¼Œæ³¢çº¹ä¼šæ‰©æ•£å¼€æ¥ã€‚ä½†å¦‚æžœä½ å¯¹é‚£ä¸ªåœºæ™¯è¿›è¡Œæ—¶é—´åæ¼”,并且波动方程是时间å¯é€†çš„,你就å¯ä»¥æƒ³è±¡æ³¢çº¹æ±‡èšåˆ°ä¸€ä¸ªå•点,然åŽå‘生一次巨大的飞溅,甚至å¯èƒ½æ˜¯ä¸€ä¸ªå¥‡ç‚¹ã€‚å› æ­¤ï¼Œè¿™æ ·åšæ˜¯å¯èƒ½çš„。从几何学上æ¥è¯´ï¼Œæ­£åœ¨å‘生的是总是存在æŸç§å…‰çº¿ã€‚因此,例如,如果这个波代表光,你å¯ä»¥å°†è¿™ä¸ªæ³¢æƒ³è±¡æˆä»¥å…‰é€Ÿä¼ æ’­çš„å…‰å­çš„å åŠ ã€‚å®ƒä»¬éƒ½æ²¿ç€è¿™äº›å…‰çº¿ä¼ æ’­ï¼Œå¹¶ä¸”都èšç„¦äºŽè¿™ä¸€ä¸ªç‚¹ã€‚ 陶哲轩: 因此,你å¯ä»¥ä½¿ä¸€ä¸ªéžå¸¸åˆ†æ•£çš„æ³¢åœ¨ç©ºé—´å’Œæ—¶é—´ä¸Šçš„一个点èšç„¦æˆä¸€ä¸ªé«˜åº¦é›†ä¸­çš„æ³¢ï¼Œä½†éšåŽå®ƒä¼šå†æ¬¡æ•£ç„¦å¹¶åˆ†ç¦»ã€‚但潜在地,如果这个猜想有一个负解,这æ„味ç€å­˜åœ¨ä¸€ç§éžå¸¸æœ‰æ•ˆçš„æ–¹å¼ï¼Œå¯ä»¥å°†æŒ‡å‘ä¸åŒæ–¹å‘的管状物打包到一个体积éžå¸¸éžå¸¸ç‹­çª„的区域中,那么你也能够创造出始于...的波。会有æŸç§æ³¢çš„æŽ’列,它们一开始éžå¸¸éžå¸¸åˆ†æ•£ï¼Œä½†å®ƒä»¬ä¸ä¼šåªé›†ä¸­åœ¨ä¸€ä¸ªç‚¹ä¸Šï¼Œè€Œæ˜¯åœ¨ç©ºé—´å’Œæ—¶é—´ä¸Šä¼šæœ‰å¤§é‡çš„集中点。并且你å¯ä»¥åˆ›é€ å‡ºæ‰€è°“的“解的爆破â€çŽ°è±¡ï¼Œå³è¿™äº›æ³¢çš„æŒ¯å¹…å˜å¾—如此之大,以至于它们所éµå¾ªçš„物ç†å®šå¾‹ä¸å†æ˜¯æ³¢åŠ¨æ–¹ç¨‹ï¼Œè€Œæ˜¯æ›´å¤æ‚å’Œéžçº¿æ€§çš„东西。 陶哲轩: 因此在数ç†ç‰©ç†ä¸­ï¼Œæˆ‘们éžå¸¸å…³å¿ƒæ³¢åŠ¨æ–¹ç¨‹ä¸­çš„æŸäº›æ–¹ç¨‹æ˜¯å¦ç¨³å®šï¼Œä»¥åŠå®ƒä»¬æ˜¯å¦èƒ½äº§ç”Ÿè¿™äº›å¥‡ç‚¹ã€‚有一个著å的未解决问题,å«åšçº³ç»´-斯托克斯方程正则性问题。纳维-æ–¯æ‰˜å…‹æ–¯æ–¹ç¨‹æ˜¯æ”¯é…æµä½“æˆ–åƒæ°´è¿™æ ·çš„ä¸å¯åŽ‹ç¼©æµä½“的方程。这个问题问é“,如果你从一个水的光滑速度场开始,它是å¦ä¼šé›†ä¸­åˆ°å¦‚此程度,以至于在æŸä¸ªç‚¹ä¸Šé€Ÿåº¦å˜ä¸ºæ— é™å¤§ï¼Ÿé‚£è¢«ç§°ä¸ºä¸€ä¸ªå¥‡ç‚¹ã€‚æˆ‘ä»¬åœ¨çŽ°å®žç”Ÿæ´»ä¸­æ²¡æœ‰çœ‹åˆ°è¿‡è¿™ç§æƒ…况。如果你在浴缸里泼水,水ä¸ä¼šåœ¨ä½ èº«ä¸Šçˆ†ç‚¸ï¼Œä¹Ÿä¸ä¼šä»¥å…‰é€Ÿé£žæº…出去,但潜在地它是å¯èƒ½å‘生的。事实上,近年æ¥ï¼Œå…±è¯†å·²å€¾å‘于认为,对于例如水的æŸäº›éžå¸¸ç‰¹æ®Šçš„åˆå§‹é…置,奇点确实å¯ä»¥å½¢æˆã€‚但人们尚未能真正è¯å®žè¿™ä¸€ç‚¹ã€‚克莱数学研究所æå‡ºäº†è¿™ä¸ƒä¸ªåƒç¦§å¹´å¤§å¥–难题,解决其中一个难题将获得一百万美元的奖金。这是其中一个。在这七个问题中,目å‰åªæœ‰åºžåŠ èŽ±çŒœæƒ³å·²è¢«è§£å†³ã€‚ 陶哲轩: 因此,å¡å‡¯äºšçŒœæƒ³ä¸Žçº³ç»´-斯托克斯问题并éžç›´æŽ¥ç›¸å…³ï¼Œä½†ç†è§£å®ƒå°†æœ‰åŠ©äºŽæˆ‘ä»¬ç†è§£è¯¸å¦‚波集中等方é¢çš„æŸäº›çŽ°è±¡ï¼Œè¿™é—´æŽ¥åœ°å¯èƒ½ä¼šå¸®åŠ©æˆ‘ä»¬æ›´å¥½åœ°ç†è§£çº³ç»´-斯托克斯问题。 莱克斯: 您能谈谈纳维-斯托克斯问题å—ï¼Ÿå—¯ï¼Œå°±æ˜¯åƒæ‚¨æ‰€è¯´çš„,它的存在性与光滑性,一个åƒç¦§å¹´å¤§å¥–难题。是的。您在这个问题上å–得了很大进展。2016年,您å‘表了一篇论文,å为《三维平å‡çº³ç»´-æ–¯æ‰˜å…‹æ–¯æ–¹ç¨‹çš„æœ‰é™æ—¶é—´çˆ†ç ´ã€‹ã€‚那么,我们正在努力弄清楚这东西通常是å¦ä¸ä¼šçˆ†ç‚¸ã€‚对。但我们能确定地说它永ä¸çˆ†ç‚¸å—? 陶哲轩: 对。嗯。那么,嗯,那确实是百万美元的问题。嗯。那么,这就是数学家与几乎所有其他人ä¸åŒçš„地方。比如说,如果æŸä»¶äº‹ç™¾åˆ†ä¹‹99.99的时候都æˆç«‹ï¼Œé‚£ä¹ˆå¯¹äºŽå¤§å¤šæ•°æƒ…况æ¥è¯´ï¼Œè¿™å·²ç»è¶³å¤Ÿäº†ã€‚ä½†æ•°å­¦å®¶æ˜¯å°‘æ•°çœŸæ­£å…³å¿ƒæ˜¯å¦æ‰€æœ‰æƒ…况,比如百分之百,真正百分之百的所有情况都被涵盖的人。所以,大多数æµä½“,在大多数时候,水ä¸ä¼šçˆ†ç‚¸ã€‚但是,你是å¦èƒ½è®¾è®¡ä¸€ä¸ªéžå¸¸ç‰¹æ®Šçš„åˆå§‹çŠ¶æ€æ¥å¯¼è‡´è¿™ç§æƒ…况å‘生呢? 莱克斯: 也许我们应该说,这是一组在æµä½“力学领域中起支é…作用的方程,旨在ç†è§£æµä½“的行为方å¼ã€‚实际上,结果å‘现它确实éžå¸¸å¤æ‚,你知é“,æµä½“ï¼Œæ˜¯çš„ï¼Œæ˜¯ä¸€ç§æžå…¶å¤æ‚难以建模的事物。 陶哲轩: 是的。所以,它具有实际é‡è¦æ€§ã€‚因此,这个克雷奖问题涉åŠè¢«ç§°ä¸ºä¸å¯åŽ‹ç¼©çº³ç»´-斯托克斯方程(组)的ç†è®ºï¼Œè¯¥ç†è®ºæ”¯é…ç€åƒæ°´è¿™æ ·çš„物质的行为。还有一ç§å«åšå¯åŽ‹ç¼©çº³ç»´-斯托克斯方程(组)的ç†è®ºï¼Œå®ƒæ”¯é…ç€åƒç©ºæ°”这样的物质的行为。而这对于天气预报尤为é‡è¦ã€‚天气预报中包å«å¤§é‡çš„计算æµä½“力学应用。很多时候,它实际上就是尽其所能地试图求解纳维-æ–¯æ‰˜å…‹æ–¯æ–¹ç¨‹ã€‚è¿˜éœ€è¦æ”¶é›†å¤§é‡æ•°æ®ï¼Œä»¥ä¾¿ä»–们能够åˆå§‹åŒ–方程。这牵涉到很多方é¢ã€‚所以,这是一个éžå¸¸é‡è¦çš„实际问题。 陶哲轩: ç®€çŸ­çš„å›žç­”æ˜¯éº¦å…‹æ–¯éŸ¦å¦–ã€‚é‚£ä¹ˆï¼Œéº¦å…‹æ–¯éŸ¦å¦–æ˜¯çƒ­åŠ›å­¦ä¸­çš„ä¸€ä¸ªæ¦‚å¿µã€‚æ¯”å¦‚ï¼Œå¦‚æžœä½ æœ‰ä¸€ä¸ªè£…æœ‰ä¸¤ç§æ°”体——氧气和氮气的盒å­ï¼Œä½ å¯èƒ½ä¸€å¼€å§‹è®©æ‰€æœ‰æ°§æ°”在一边,氮气在å¦ä¸€è¾¹ï¼Œä½†å®ƒä»¬ä¹‹é—´æ²¡æœ‰å±éšœï¼Œé‚£ä¹ˆå®ƒä»¬å°±ä¼šæ··åˆã€‚è€Œä¸”å®ƒä»¬åº”è¯¥ä¿æŒæ··åˆçжæ€ã€‚没有ç†ç”±è¯´æ˜Žå®ƒä»¬ä¼šåˆ†ç¦»ã€‚但是,原则上,由于它们之间所有的碰撞,å¯èƒ½ä¼šæœ‰ä¸€ç§å¥‡æ€ªçš„é˜´è°‹ï¼Œä¹Ÿè®¸å­˜åœ¨ä¸€ä¸ªè¢«ç§°ä¸ºéº¦å…‹æ–¯éŸ¦å¦–çš„å¾®è§‚å¦–é­”ï¼Œå®ƒä¼šåœ¨æ¯æ¬¡æ°§åŽŸå­å’Œæ°®åŽŸå­ç¢°æ’žæ—¶ï¼Œä½¿å®ƒä»¬ä»¥è¿™æ ·ä¸€ç§æ–¹å¼å弹:氧原å­ä¼šæ¼‚移到一边,而氮原å­åˆ™åŽ»åˆ°å¦ä¸€è¾¹ã€‚这样就å¯èƒ½å‡ºçŽ°ä¸€ç§æˆ‘们从未è§è¿‡çš„æžä¸å¯èƒ½çš„é…置。从统计学上讲,这是æžä¸å¯èƒ½çš„。但从数学上讲,这å¯èƒ½å‘生,我们ä¸èƒ½æŽ’除这ç§å¯èƒ½æ€§ã€‚ 陶哲-轩: è¿™ç§æƒ…况在数学中ç»å¸¸å‡ºçŽ°ã€‚ä¸€ä¸ªåŸºæœ¬ä¾‹å­æ˜¯åœ†å‘¨çŽ‡çš„æ•°å­—ï¼Œ3.14159 ç­‰ç­‰ã€‚è¿™äº›æ•°å­—çœ‹èµ·æ¥æ²¡æœ‰è§„律,我们也相信它们没有规律。从长远æ¥çœ‹ï¼Œ1ã€2 å’Œ 3 的出现次数应该与 4ã€5 å’Œ 6 的出现次数一样多。圆周率的数字ä¸åº”该有任何å好,例如å爱 7 è€Œéž 8。但也许圆周率的数字中存在æŸç§å¦–魔,æ¯å½“你计算出越æ¥è¶Šå¤šçš„æ•°å­—时,它就会æŸç§ç¨‹åº¦ä¸Šå呿Ÿä¸ªæ•°å­—ã€‚è€Œè¿™æ˜¯ä¸€ç§æœ¬ä¸åº”å‘生的诡异现象。它没有ç†ç”±å‘生,但以我们当å‰çš„æŠ€æœ¯æ— æ³•è¯æ˜Žã€‚ 陶哲轩: 好的,那么回到纳维-斯托克斯方程,æµä½“具有一定é‡çš„能é‡ã€‚而由于æµä½“处于è¿åŠ¨çŠ¶æ€ï¼Œèƒ½é‡ä¼šéšä¹‹ä¼ è¾“ã€‚æ°´ä¹Ÿå…·æœ‰é»æ€§ã€‚因此,如果æµä½“分布在许多ä¸åŒä½ç½®ï¼Œæµä½“çš„å›ºæœ‰é»æ€§å°±ä¼šè€—散能é‡ï¼Œä½¿å…¶è¶‹äºŽé›¶ã€‚这正是我们实际用水进行实验时å‘ç”Ÿçš„æƒ…å†µã€‚ä½ æ³¼æ´’æ—¶ï¼Œä¼šäº§ç”Ÿä¸€äº›æ¹æµå’Œæ³¢æµªç­‰ç­‰ï¼Œä½†æœ€ç»ˆå®ƒä¼šå¹³é™ä¸‹æ¥ã€‚而且振幅越å°ï¼Œé€Ÿåº¦è¶Šå°ï¼Œå®ƒå°±è¶Šå¹³é™ã€‚ 陶哲轩: 但潜在地存在æŸç§â€œæ¶é­”â€ï¼Œä¸æ–­å°†æµä½“çš„èƒ½é‡æŽ¨å‘è¶Šæ¥è¶Šå°çš„尺度。它会移动得越æ¥è¶Šå¿«ã€‚速度越快,é»åº¦æ•ˆåº”相对越å°ã€‚因此,å¯èƒ½ä¼šå‡ºçŽ°ä¸€ç§æ‰€è°“çš„è‡ªç›¸ä¼¼çˆ†å‘æƒ…æ™¯ï¼Œå³æµä½“的能é‡ä»ŽæŸä¸ªå¤§å°ºåº¦å¼€å§‹ï¼Œç„¶åŽå°†å…¶å…¨éƒ¨èƒ½é‡ä¼ é€’到一个更å°çš„æµä½“åŒºåŸŸï¼ŒæŽ¥ç€ä»¥æ›´å¿«çš„速度进入一个甚至更å°çš„åŒºåŸŸï¼Œä¾æ­¤ç±»æŽ¨ã€‚æ¯æ¬¡å‘ç”Ÿè¿™ç§æƒ…况,所需时间å¯èƒ½åªæœ‰ä¸Šä¸€æ¬¡çš„一åŠã€‚ç„¶åŽï¼Œèƒ½é‡å®žé™…上å¯ä»¥åœ¨æœ‰é™æ—¶é—´å†…会èšåˆ°ä¸€ç‚¹ã€‚è¿™ç§æƒ…æ™¯è¢«ç§°ä¸ºæœ‰é™æ—¶é—´çˆ†å‘。 陶哲-轩: é‚£ä¹ˆåœ¨å®žè·µä¸­ï¼Œè¿™ç§æƒ…况ä¸ä¼šå‘ç”Ÿã€‚æ‰€ä»¥æ°´æ˜¯æ‰€è°“çš„æ¹æµã€‚确实如此,如果你有一个大的水涡æµï¼Œå®ƒä¼šå€¾å‘äºŽåˆ†è§£æˆæ›´å°çš„æ¶¡æµã€‚但它ä¸ä¼šå°†æ‰€æœ‰èƒ½é‡ä»Žä¸€ä¸ªå¤§æ¶¡æµä¼ é€’åˆ°ä¸€ä¸ªå°æ¶¡æµã€‚它å¯èƒ½ä¼šè½¬åŒ–为三到四个。然åŽé‚£äº›åˆåˆ†è£‚æˆå„自å¯èƒ½çš„ä¸‰åˆ°å››ä¸ªå°æ¶¡æµã€‚因此能é‡ä¼šåˆ†æ•£åˆ°ç²˜åº¦èƒ½å¤ŸæŽ§åˆ¶ä½ä¸€åˆ‡çš„程度。但是,如果它能以æŸç§æ–¹å¼é›†ä¸­æ‰€æœ‰èƒ½é‡ï¼Œå°†å®ƒä»¬å…¨éƒ¨èšé›†åœ¨ä¸€èµ·ï¼Œå¹¶ä¸”进行得足够快,使得粘性效应没有足够时间使一切平é™ä¸‹æ¥ï¼Œé‚£ä¹ˆè¿™ç§çˆ†è£‚现象就å¯èƒ½å‘生。 陶哲轩: 因此,有些论文声称,哦,你åªéœ€è¦è€ƒè™‘能é‡å®ˆæ’,并谨慎地利用粘度,就å¯ä»¥æŽ§åˆ¶ä½ä¸€åˆ‡ï¼Œä¸ä»…是纳维-斯托克斯方程,还包括许多许多这类方程。因此,过去曾有许多å°è¯•æ¥èŽ·å¾—çº³ç»´-æ–¯æ‰˜å…‹æ–¯æ–¹ç¨‹çš„æ‰€è°“å…¨å±€æ­£åˆ™æ€§ï¼Œè¿™ä¸Žæœ‰é™æ—¶é—´çˆ†è£‚相å,æ„味ç€é€Ÿåº¦ä¿æŒå…‰æ»‘。然而,所有这些å°è¯•都失败了。总会出现一些符å·é”™è¯¯æˆ–微妙的失误,并且无法挽救。 陶哲轩: 所以我感兴趣的是å°è¯•解释为什么我们无法åé©³æœ‰é™æ—¶é—´çˆ†è£‚现象。我无法对实际的æµä½“æ–¹ç¨‹è¿›è¡Œè¿™é¡¹å·¥ä½œï¼Œå› ä¸ºå®ƒä»¬å¤ªå¤æ‚了。但是,如果我能对纳维-斯托克斯è¿åŠ¨æ–¹ç¨‹è¿›è¡Œå¹³å‡åŒ–处ç†ï¼Œä¹Ÿå°±æ˜¯è¯´ï¼Œå¦‚果我能关闭æŸäº›ç±»åž‹çš„æ°´ç›¸äº’作用方å¼ï¼Œåªä¿ç•™æˆ‘想è¦çš„。具体æ¥è¯´ï¼Œå¦‚果存在æµä½“,并且它能将能é‡ä»Žä¸€ä¸ªå¤§æ¶¡æµä¼ é€’åˆ°è¿™ä¸ªå°æ¶¡æµæˆ–å¦ä¸€ä¸ªå°æ¶¡æµï¼Œæˆ‘就会关闭会将能é‡ä¼ é€’给这个涡æµçš„能é‡é€šé“,åªå°†å…¶å¯¼å‘这个更å°çš„æ¶¡æµï¼ŒåŒæ—¶ä»ä¿ç•™èƒ½é‡å®ˆæ’定律。 陶哲轩: 对。所以它æä¾›äº†æ•°å­¦ä¸­æ‰€è°“的“障ç¢â€ã€‚所以我所åšçš„,基本上是,如果我关闭了方程的æŸäº›éƒ¨åˆ†ï¼Œè¿™é€šå¸¸ä¼šåœ¨ä½ å…³é—­æŸäº›ç›¸äº’作用时,使其éžçº¿æ€§ç¨‹åº¦é™ä½Žï¼Œå˜å¾—更正则,更ä¸å®¹æ˜“爆破。但我å‘现,通过关闭一组精心设计的相互作用,我能迫使能é‡åœ¨æœ‰é™æ—¶é—´å†…爆å‘。这æ„味ç€ï¼Œå¦‚æžœä½ æƒ³è¯æ˜Žçº³ç»´-斯托克斯方程(å³çœŸå®žæ–¹ç¨‹ï¼‰çš„æ•´ä½“正则性,你必须利用真实方程的æŸäº›ç‰¹æ€§ï¼Œè€Œæˆ‘çš„æž„é€ æ–¹ç¨‹å¹¶ä¸æ»¡è¶³è¿™äº›ç‰¹æ€§ã€‚因此,这排除了æŸäº›æ–¹æ³•。 陶哲轩: 数学的一个特点是,它ä¸ä»…仅是找到或采用一ç§è¡Œä¹‹æœ‰æ•ˆå¹¶åŠ ä»¥åº”ç”¨çš„æŠ€æœ¯ï¼Œè€Œæ˜¯ä½ éœ€è¦é¿å…采用那些行ä¸é€šçš„æŠ€æœ¯ã€‚对于那些真正困难的问题,你常常会想到几åç§å¯èƒ½é€‚ç”¨äºŽè§£å†³é—®é¢˜çš„æ–¹æ³•ã€‚ä½†åªæœ‰åœ¨ç§¯ç´¯äº†å¤§é‡ç»éªŒä¹‹åŽï¼Œä½ æ‰ä¼šæ„识到这些方法根本行ä¸é€šã€‚因此,对于邻近问题拥有这些å例,在æŸç§ç¨‹åº¦ä¸ŠæŽ’除了(æŸäº›æ–¹æ³•)。它为你节çœäº†å¤§é‡æ—¶é—´ï¼Œå› ä¸ºä½ ä¸ä¼šå†æŠŠç²¾åŠ›æµªè´¹åœ¨ä½ çŽ°åœ¨å·²çŸ¥ç»ä¸å¯èƒ½å¥æ•ˆçš„事情上。 陶哲轩: 没错,是的。我的技术利用的关键现象是所谓的超临界性。在å微分方程中,这些方程常常是ä¸åŒåŠ›ä¹‹é—´çš„ä¸€åœºæ‹”æ²³ã€‚åœ¨çº³ç»´-斯托克斯方程中,存在æºäºŽç²˜æ€§çš„耗散力,它已被充分ç†è§£ã€‚它是线性的,能使事物平æ¯ä¸‹æ¥ã€‚å¦‚æžœåªæœ‰ç²˜æ€§å­˜åœ¨ï¼Œé‚£ä¹ˆå°±æ°¸è¿œä¸ä¼šå‘生任何ä¸å¥½çš„äº‹æƒ…ã€‚ä½†ä¹Ÿå­˜åœ¨è¾“è¿æ•ˆåº”,å³ç©ºé—´æŸä¸€ä½ç½®çš„能é‡ä¼šå› ä¸ºæµä½“è¿åŠ¨è€Œè¢«è¾“è¿åˆ°å…¶ä»–ä½ç½®ã€‚ 陶哲轩: 因此,纳维-斯托克斯方程中有两个相互竞争的项:耗散项和输è¿é¡¹ã€‚如果耗散项å ä¸»å¯¼ï¼Œå¦‚果它很大,那么基本上就会得到正则性。如果输è¿é¡¹å ä¸»å¯¼ï¼Œé‚£ä¹ˆæˆ‘们就ä¸çŸ¥é“会å‘生什么了。这是一个éžå¸¸éžçº¿æ€§çš„å±€é¢ã€‚它是ä¸å¯é¢„æµ‹çš„ã€‚å®ƒæ˜¯æ¹æµçš„。因此,有时这些力在å°å°ºåº¦ä¸Šå¤„于平衡,但在大尺度上å´ä¸å¹³è¡¡ï¼Œå之亦然。所以纳维-斯托克斯方程是所谓的超临界方程。因此,在越æ¥è¶Šå°çš„尺度上,输è¿é¡¹è¿œå¼ºäºŽé»æ€§é¡¹ã€‚æ‰€ä»¥é»æ€§é¡¹æ˜¯ä½¿äº‹ç‰©å¹³é™ä¸‹æ¥çš„因素。 陶哲轩: 这就是为什么这个问题在二维空间中很难。è‹è”数学家奥尔加·拉德任斯å¡å¨…在20世纪60年代表明,在二维空间中ä¸å­˜åœ¨çˆ†ç ´ã€‚而在二维空间中,纳维-æ–¯æ‰˜å…‹æ–¯æ–¹ç¨‹æ˜¯æ‰€è°“çš„ä¸´ç•Œæ–¹ç¨‹ã€‚è¾“è¿æ•ˆåº”和粘性效应的强度大致相åŒï¼Œå³ä½¿åœ¨éžå¸¸éžå¸¸å°çš„尺度上也是如此。我们有很多技术æ¥å¤„ç†ä¸´ç•Œå’Œæ¬¡ä¸´ç•Œæ–¹ç¨‹ï¼Œå¹¶è¯æ˜Žå…¶æ­£åˆ™æ€§ã€‚ä½†å¯¹äºŽè¶…ä¸´ç•Œæ–¹ç¨‹ï¼Œæƒ…å†µå°šä¸æ¸…楚。 陶哲轩: 我åšäº†å¤§é‡å·¥ä½œï¼ŒéšåŽä¹Ÿæœ‰è®¸å¤šåŽç»­ç ”究表明,对于许多其他类型的超临界方程,你å¯ä»¥åˆ›å»ºå„ç§çˆ†è£‚例å­ã€‚一旦éžçº¿æ€§æ•ˆåº”在å°å°ºåº¦ä¸Šä¸»å¯¼äº†çº¿æ€§æ•ˆåº”,就会出现å„ç§ç³Ÿç³•的情况。因此,这是这项研究的主è¦è§è§£ä¹‹ä¸€ï¼Œå³è¶…临界性与临界性和次临界性之间存在巨大差异。 陶哲轩: æˆ‘çš„æ„æ€æ˜¯ï¼Œè¿™æ˜¯ä¸€ä¸ªå…³é”®çš„定性特å¾ï¼Œå®ƒåŒºåˆ†äº†ä¸€äº›æ–¹ç¨‹ï¼Œä½¿å®ƒä»¬è¡¨çŽ°å¾—è‰¯å¥½ä¸”å¯é¢„测,比如行星è¿åŠ¨ã€‚æˆ‘çš„æ„æ€æ˜¯ï¼Œæœ‰äº›æ–¹ç¨‹ä½ å¯ä»¥é¢„测数百万年,或者至少数åƒå¹´ã€‚å†è¯´ï¼Œè¿™å¹¶éžçœŸæ­£çš„问题。但我们无法预测两周以åŽå¤©æ°”的原因是,它是一个超临界方程。许多éžå¸¸å¥‡æ€ªçš„事情正在æžå°çš„尺度上å‘生。 陶哲-轩: 是的,如果éžçº¿æ€§åœ¨å°å°ºåº¦ä¸Šä¸çŸ¥ä½•æ•…å˜å¾—è¶Šæ¥è¶Šæ˜¾è‘—å’Œæœ‰è¶£ã€‚æˆ‘çš„æ„æ€æ˜¯ï¼Œæœ‰è®¸å¤šæ–¹ç¨‹æ˜¯éžçº¿æ€§çš„,但在许多方程中,你å¯ä»¥é€šè¿‡æ•´ä½“æ¥è¿‘似事物。例如,行星è¿åŠ¨ï¼Œå¦‚æžœä½ æƒ³äº†è§£æœˆçƒæˆ–ç«æ˜Ÿç­‰çš„轨é“,你并ä¸çœŸæ­£éœ€è¦äº†è§£æœˆçƒåœ°éœ‡å­¦çš„微观结构或者质é‡ç©¶ç«Ÿæ˜¯å¦‚何分布的。你å¯ä»¥å°†è¿™äº›è¡Œæ˜Ÿè¿‘ä¼¼ä¸ºè´¨ç‚¹ã€‚è€Œåªæœ‰æ•´ä½“行为æ‰é‡è¦ã€‚但是如果你想模拟æµä½“,比如天气,你ä¸èƒ½åªè¯´åœ¨æ´›æ‰çŸ¶ï¼Œæ¸©åº¦æ˜¯å¤šå°‘,风速是多少。对于超临界方程,最精细的确认确实éžå¸¸é‡è¦ã€‚ 莱克斯: 如果我们能ç¨å¾®æ·±å…¥æŽ¢è®¨ä¸€ä¸‹çº³ç»´-斯托克斯方程。你曾æå‡ºï¼Œæˆ–许你å¯ä»¥æè¿°ä¸€ä¸‹ï¼Œè§£å†³å®ƒçš„æ–¹æ³•ä¹‹ä¸€ï¼Œæˆ–è€…è¯´ä»¥è´Ÿé¢æ–¹å¼è§£å†³å®ƒçš„æ–¹æ³•ä¹‹ä¸€ï¼Œå°†æ˜¯æž„å»ºä¸€ä¸ªæ¶²ä½“ï¼Œä¸€ç§æ¶²æ€è®¡ç®—机。然åŽå±•示计算ç†è®ºä¸­çš„åœæœºé—®é¢˜å¯¹æµä½“动力学有影å“。所以以此方å¼å±•示。你能æè¿°ä¸€ä¸‹è¿™ä¸ªæƒ³æ³•å—? 陶哲轩: 对。嗯。这æºäºŽæž„å»ºè¿™ä¸ªå¤±æŽ§çš„å¹³å‡æ–¹ç¨‹çš„工作。所以作为我必须åšè¿™ä»¶äº‹çš„ä¸€éƒ¨åˆ†ï¼Œæœ‰ä¸€ç§æœ´ç´ çš„æ–¹æ³•æ¥åšè¿™ä»¶äº‹ã€‚ä½ åªæ˜¯ä¸æ–­åœ°æŽ¨åŠ¨ã€‚æ¯å½“ä½ åœ¨ä¸€ä¸ªå°ºåº¦ä¸ŠèŽ·å¾—èƒ½é‡æ—¶ï¼Œä½ ç«‹å³å°½å¯èƒ½å¿«åœ°å°†å…¶æŽ¨å‘下一个尺度。这是一ç§å¼ºåˆ¶æ€§åœ°é€ æˆå‘散的朴素方法。结果å‘çŽ°åœ¨äº”ç»´åŠæ›´é«˜ç»´åº¦ä¸­ï¼Œè¿™ç¡®å®žæœ‰æ•ˆã€‚但在三维空间中,我å‘现了一ç§å¥‡ç‰¹çš„现象。那就是如果你改å˜ç‰©ç†å®šå¾‹ï¼Œä½ æ€»æ˜¯è¯•å›¾å°†èƒ½é‡æŽ¨å‘è¶Šæ¥è¶Šå°çš„尺度。结果是能é‡å¼€å§‹åŒæ—¶æ‰©æ•£åˆ°è®¸å¤šå°ºåº¦ä¸Šã€‚所以你在一个尺度上拥有能é‡ï¼Œä½ æŠŠå®ƒæŽ¨å‘下一个尺度,然åŽä¸€æ—¦å®ƒè¿›å…¥é‚£ä¸ªå°ºåº¦ï¼Œä½ ä¹Ÿä¼šæŠŠå®ƒæŽ¨å‘下一个尺度,但å‰ä¸€ä¸ªå°ºåº¦ä¸Šä»ç„¶æœ‰ä¸€äº›èƒ½é‡æ®‹ç•™ã€‚ä½ è¯•å›¾åŒæ—¶å®Œæˆæ‰€æœ‰äº‹æƒ…ã€‚è€Œè¿™ä½¿å¾—èƒ½é‡æ‰©æ•£å¾—过于分散。结果å‘现,这使得它更容易å—到粘性的影å“ï¼Œè¿›è€Œå°†ä¸€åˆ‡éƒ½é˜»å°¼è€—æ•£æŽ‰ã€‚å› æ­¤ï¼Œäº‹å®žè¯æ˜Žè¿™ç§ç›´æŽ¥æ–¹æ³•实际上并ä¸å¯è¡Œã€‚还有一篇由其他作者撰写的论文,实际在三维空间中展示了这一点。 陶哲轩: 所以我需è¦åšçš„å°±æ˜¯ç¼–ç¨‹ä¸€ä¸ªå»¶è¿Ÿï¼Œæœ‰ç‚¹åƒæ°”闸。所以我需è¦ä¸€ä¸ªæ–¹ç¨‹ï¼Œå®ƒä¼šä»Žæµä½“在æŸä¸ªå°ºåº¦ä¸Šå‘生作用开始,将这ç§èƒ½é‡æŽ¨å…¥ä¸‹ä¸€ä¸ªå°ºåº¦ï¼Œä½†èƒ½é‡ä¼šåœç•™åœ¨é‚£é‡Œï¼Œç›´åˆ°æ‰€æœ‰æ¥è‡ªæ›´å¤§å°ºåº¦çš„能é‡éƒ½è½¬ç§»å®Œæ¯•ã€‚åªæœ‰åœ¨ä½ å°†æ‰€æœ‰èƒ½é‡éƒ½æŽ¨å…¥ä¹‹åŽï¼Œä½ æ‰èƒ½æ‰“开下一个“门â€ï¼Œç„¶åŽä¹Ÿå°†å®ƒæŽ¨å…¥ã€‚通过这样åšï¼Œèƒ½é‡é€ä¸ªå°ºåº¦åœ°ç¼“æ…¢å‘å‰ç§»åŠ¨ï¼Œä½¿å¾—å®ƒä¸€æ¬¡åªå±€é™åœ¨ä¸€ä¸ªå°ºåº¦ä¸Šã€‚è¿™æ ·å®ƒå°±èƒ½æŠµæŠ—é»æ€§æ•ˆåº”,因为它没有被分散。 陶哲轩: 如果你想è¦ä¸€ä¸ªèƒ½åšæŸäº‹çš„电路,比如让ç¯å…‰é—ªçƒã€äº®ç­äº¤æ›¿ï¼Œä½ å¯ä»¥ç”¨æ›´åŽŸå§‹çš„å…ƒä»¶ï¼Œæ¯”å¦‚ç”µå®¹å™¨ã€ç”µé˜»å™¨ç­‰æ¥æž„建它。你必须绘制一个图表。通过这些图表,你å¯ä»¥å‡­è‚‰çœ¼è·Ÿè¸ªï¼Œç„¶åŽè¯´ï¼Œå“¦ï¼Œç”µæµä¼šåœ¨è¿™é‡Œç§¯ç´¯ï¼Œç„¶åŽåœæ­¢ï¼Œå†ç„¶åŽå®ƒä¼šé‚£æ ·åšã€‚所以我知é“如何构建基本电å­å…ƒä»¶çš„æ¨¡æ‹Ÿç‰©ï¼Œæ¯”如电阻器和电容器等等。我会将它们堆å èµ·æ¥ï¼Œä»¥åˆ›é€ å‡ºèƒ½æ‰“开一个门的装置,然åŽä¼šæœ‰ä¸€ä¸ªè®¡æ—¶å™¨ã€‚ç„¶åŽä¸€æ—¦è®¡æ—¶å™¨è¾¾åˆ°æŸä¸ªé˜ˆå€¼ï¼Œå®ƒå°±ä¼šå°†å…¶å…³é—­ã€‚它有点åƒé²å¸ƒÂ·æˆˆå¾·å ¡å¼çš„æœºå™¨ï¼Œä½†å´æ˜¯ç”¨æ•°å­¦æ–¹å¼æè¿°çš„ã€‚ç»“æžœè¿™æœ€ç»ˆå¥æ•ˆäº†ã€‚ 陶哲轩: 所以我æ„è¯†åˆ°ï¼Œå¦‚æžœä½ èƒ½å¯¹å®žé™…æ–¹ç¨‹å®žçŽ°åŒæ ·çš„事情,也就是说如果水的方程支æŒè®¡ç®—,那么你就å¯ä»¥æƒ³è±¡ä¸€ç§è’¸æ±½æœ‹å…‹ï¼Œä½†å®ƒå®žé™…ä¸Šæ˜¯ä¸€ç§æ°´æœ‹å…‹ç±»åž‹çš„东西,你知é“,现代计算机是电å­çš„,它们由电å­é€šè¿‡éžå¸¸å¾®å°çš„导线并与其他电å­ç›¸äº’作用等æ¥ä¾›ç”µã€‚但你å¯ä»¥æƒ³è±¡è¿™äº›æ°´è„‰å†²ä»¥ä¸€å®šçš„é€Ÿåº¦ç§»åŠ¨ï¼Œè€Œä¸æ˜¯ç”µå­ã€‚也许存在两ç§ä¸åŒçš„é…置,分别对应ç€ä¸€ä½ï¼ˆæ¯”特)的å‘上或å‘下状æ€ã€‚如果让两个这样的移动水体相撞,它们å¯èƒ½ä¼šäº§ç”ŸæŸç§æ–°çš„é…置,类似于一个与门或或门。输出将以一ç§é«˜åº¦å¯é¢„测的方å¼å–决于输入。你å¯ä»¥å°†å®ƒä»¬ä¸²è”èµ·æ¥ï¼Œæˆ–许就能创造出一å°å›¾çµæœºã€‚这样你就能拥有完全由水构æˆçš„计算机了。 莱克斯: å¦‚æžœä½ æ‹¥æœ‰è®¡ç®—æœºï¼Œé‚£ä¹ˆä¹Ÿè®¸å°±èƒ½å®žçŽ°æœºå™¨äººæŠ€æœ¯ã€æ¶²åŽ‹æŠ€æœ¯ç­‰ç­‰ã€‚è¿™æ ·ä½ å°±å¯ä»¥åˆ›é€ å‡ºä¸€ç§æœºå™¨ï¼Œå®ƒåŸºæœ¬ä¸Šæ˜¯æµä½“æ¨¡æ‹Ÿçš„ï¼Œä¹Ÿå°±æ˜¯æ‰€è°“çš„å†¯Â·è¯ºä¾æ›¼æœºå™¨ã€‚ 陶哲轩: å†¯Â·è¯ºä¾æ›¼æå‡ºï¼Œå¦‚æžœä½ æƒ³æ®–æ°‘ç«æ˜Ÿï¼Œä»…仅是è¿é€äººå‘˜å’Œæœºå™¨åˆ°ç«æ˜Ÿçš„æˆæœ¬ï¼Œå°±å·²é«˜å¾—è’è°¬ã€‚ä½†å¦‚æžœä½ èƒ½å°†ä¸€å°æœºå™¨è¿é€åˆ°ç«æ˜Ÿï¼Œè€Œè¿™å°æœºå™¨æœ‰èƒ½åŠ›å¼€é‡‡è¡Œæ˜Ÿã€åˆ¶é€ æ›´å¤šææ–™ã€å†¶ç‚¼å®ƒä»¬å¹¶å»ºé€ æ›´å¤šç›¸åŒçš„æœºå™¨å‰¯æœ¬ï¼Œé‚£ä¹ˆéšç€æ—¶é—´çš„æŽ¨ç§»ï¼Œä½ å°±èƒ½æ®–æ°‘æ•´ä¸ªè¡Œæ˜Ÿã€‚æ‰€ä»¥å¦‚æžœä½ èƒ½å»ºé€ ä¸€å°æµä½“æœºå™¨ï¼Œå®ƒå°±æ˜¯ä¸€å°æµä½“机器人。它的作用,它存在的目的,是它被编程为会以æŸç§â€œå†·â€çжæ€åˆ›é€ å‡ºè‡ªèº«çš„æ›´å°ç‰ˆæœ¬ã€‚它暂时ä¸ä¼šå¯åŠ¨ã€‚ä¸€æ—¦å‡†å¤‡å°±ç»ªï¼Œè¿™ä¸ªé…置好的水体形æ€çš„大机器人会将其所有能é‡è½¬ç§»ç»™æ›´å°çš„é…置体,然åŽå…³é—­ã€‚ç„¶åŽå®ƒä¼šè‡ªè¡Œæ¸…ç†ã€‚ç„¶åŽå‰©ä¸‹çš„å°±æ˜¯è¿™ç§æœ€æ–°çš„状æ€ï¼Œå®ƒä¼šéšåŽå¯åЍ并åšåŒæ ·çš„事情,但更å°ã€æ›´å¿«ã€‚ç„¶åŽè¿™ä¸ªæ–¹ç¨‹å…·æœ‰æŸç§å°ºåº¦å¯¹ç§°æ€§ã€‚一旦你这样åšï¼Œå®ƒå°±å¯ä»¥ä¸æ–­è¿­ä»£ã€‚ 陶哲轩: 所以,原则上,这会为实际的纳维-斯托克斯方程创造一个爆破。而这正是我为这个平å‡çº³ç»´-斯托克斯方程设法完æˆçš„。所以它æä¾›äº†è¿™æ ·ä¸€ç§è§£å†³é—®é¢˜çš„路线图。这现在是痴心妄想,因为è¦å®žçŽ°è¿™ä¸ªç›®æ ‡ï¼Œè¿˜æœ‰å¾ˆå¤šä¸œè¥¿ç¼ºå¤±ã€‚æ‰€ä»¥æˆ‘æ— æ³•åˆ›å»ºè¿™äº›åŸºæœ¬é€»è¾‘é—¨ã€‚æˆ‘æ²¡æœ‰è¿™äº›æ°´çš„ç‰¹æ®Šé…ç½®ã€‚æˆ‘çš„æ„æ€æ˜¯ï¼Œæœ‰åŒ…括涡环在内的候选方案å¯èƒ½æœ‰æ•ˆã€‚ä½†åŒæ—¶ï¼Œä½ çŸ¥é“,模拟计算比数字计算è¦ç³Ÿç³•得多,因为它总是存在误差。你在过程中必须进行大é‡çš„纠错。我ä¸çŸ¥é“如何完全关闭这å°å¤§æœºå™¨ï¼Œä½¿å…¶ä¸å¹²æ‰°å°åž‹æœºå™¨çš„è¿è¡Œã€‚但原则上,一切皆有å¯èƒ½ã€‚è¿™ä¸ä¸Žä»»ä½•物ç†å®šå¾‹ç›¸çŸ›ç›¾ã€‚所以这å¯ä»¥ç®—作这ç§äº‹ç‰©æ˜¯å¯èƒ½çš„一ç§è¯æ®ã€‚还有其他一些研究å°ç»„正在探寻使纳维-æ–¯æ‰˜å…‹æ–¯æ–¹ç¨‹çˆ†ç ´çš„æ–¹æ³•ï¼Œè¿™äº›æ–¹æ³•è¿œæ²¡æœ‰æˆ‘åˆšæ‰æè¿°çš„è¿™ä¹ˆè’è°¬åœ°å¤æ‚。他们实际上正在追求更接近于直接的自相似模型,该模型目å‰è¿˜ä¸èƒ½ç›´æŽ¥ç”Ÿæ•ˆï¼Œä½†å¯èƒ½å­˜åœ¨æ¯”æˆ‘åˆšæ‰æè¿°çš„æ›´ç®€å•的方案æ¥ä½¿å…¶å¥æ•ˆã€‚ 莱克斯: 从纳维-斯托克斯方程到这å°å›¾çµæœºï¼Œè¿™å…¶ä¸­ç¡®å®žå­˜åœ¨ç€å¤©æ‰èˆ¬çš„飞跃。所以,它从你试图获得越æ¥è¶Šå°çš„自相似斑点情景,转å˜ä¸ºçŽ°åœ¨æ‹¥æœ‰ä¸€ä¸ªè¶Šæ¥è¶Šå°çš„æ¶²ä½“图リング机,并设法探究这如何能够用æ¥è§£é‡Šçˆ†ç ´çŽ°è±¡ã€‚ 陶哲轩: æˆ‘çš„æ„æ€æ˜¯ï¼Œé‚£æ˜¯ä¸€ä¸ªå·¨å¤§çš„é£žè·ƒã€‚å› æ­¤ï¼Œå­˜åœ¨å…ˆä¾‹ã€‚æˆ‘çš„æ„æ€æ˜¯ï¼Œæ•°å­¦çš„特点在于它éžå¸¸æ“…长找出你å¯èƒ½è®¤ä¸ºå®Œå…¨ä¸åŒçš„问题之间的è”系。但如果数学形å¼ç›¸åŒï¼Œä½ å°±å¯ä»¥å»ºç«‹è”ç³»ã€‚å› æ­¤ï¼Œä¹‹å‰æœ‰å¾ˆå¤šå…³äºŽæ‰€è°“细胞自动机的工作,其中最著å的是康å¨ç”Ÿå‘½æ¸¸æˆã€‚这是一个无é™çš„离散网格,在任何给定时间,网格è¦ä¹ˆè¢«ä¸€ä¸ªç»†èƒžå æ®ï¼Œè¦ä¹ˆæ˜¯ç©ºçš„。细胞如何演化,éµå¾ªç€ä¸€ä¸ªéžå¸¸ç®€å•的规则。因此,细胞有时存活,有时死亡。我还是学生时,让这些动画æŒç»­è¿è¡Œæ˜¯ä¸€ä¸ªéžå¸¸æµè¡Œçš„å±å¹•ä¿æŠ¤ç¨‹åºã€‚它们看起æ¥éžå¸¸æ··æ²Œã€‚äº‹å®žä¸Šï¼Œå®ƒä»¬æœ‰æ—¶æœ‰ç‚¹åƒæ¹æµã€‚ 陶哲轩: 但在æŸä¸ªæ—¶å€™ï¼Œäººä»¬åœ¨â€œç”Ÿå‘½æ¸¸æˆâ€ä¸­å‘现了越æ¥è¶Šå¤šæœ‰è¶£çš„结构。例如,他们å‘现了一ç§å«åšâ€œæ»‘翔机â€çš„东西。滑翔机是一ç§éžå¸¸å¾®å°çš„ã€ç”±å››äº”个细胞组æˆçš„æž„åž‹ï¼Œå®ƒä¼šæ¼”åŒ–å¹¶æœæŸä¸ªæ–¹å‘移动。那就是这个涡环。所以这是一个类比。康å¨ç”Ÿå‘½æ¸¸æˆå¯ä»¥çœ‹ä½œæ˜¯ä¸€ç§ç¦»æ•£æ–¹ç¨‹ï¼Œè€Œæµä½“纳维-斯托克斯方程则是一ç§è¿žç»­æ–¹ç¨‹ã€‚但从数学角度æ¥çœ‹ï¼Œå®ƒä»¬å…·æœ‰ä¸€äº›ç›¸ä¼¼çš„特性。 陶哲轩: éšç€æ—¶é—´çš„æŽ¨ç§»ï¼Œäººä»¬åœ¨åº·å¨ç”Ÿå‘½æ¸¸æˆä¸­å‘现了越æ¥è¶Šå¤šå¯ä»¥æž„建的有趣事物。康å¨ç”Ÿå‘½æ¸¸æˆæ˜¯ä¸€ä¸ªéžå¸¸ç®€å•çš„ç³»ç»Ÿã€‚å®ƒåªæœ‰ä¸‰åˆ°å››ä¸ªè§„则,但你å¯ä»¥åœ¨å…¶ä¸­è®¾è®¡å‡ºå„ç§æœ‰è¶£çš„结构。有一ç§å«åšæ»‘ç¿”æœºæžªçš„ä¸œè¥¿ï¼Œå®ƒåªä¼šä¸€ä¸ªæŽ¥ä¸€ä¸ªåœ°å出滑翔机。ç»è¿‡å¤§é‡åŠªåŠ›ï¼Œäººä»¬æˆåŠŸåœ°ä¸ºæ»‘ç¿”æœºåˆ›å»ºäº†ä¸Žé—¨å’Œæˆ–é—¨ã€‚æœ‰è¿™æ ·ä¸€ä¸ªåºžå¤§è€Œä»¤äººéš¾ä»¥ç½®ä¿¡çš„ç»“æž„ï¼Œå¦‚æžœä½ æœ‰ä¸€è‚¡æ»‘ç¿”æœºæµä»Žè¿™é‡Œè¿›å…¥ï¼Œå¦ä¸€è‚¡æ»‘翔机æµä¹Ÿä»Žè¿™é‡Œè¿›å…¥ï¼Œé‚£ä¹ˆå®ƒå°±å¯èƒ½ä¼šäº§ç”Ÿä¸€è‚¡æ»‘翔机æµä½œä¸ºè¾“å‡ºã€‚ä¹Ÿè®¸åªæœ‰å½“两股滑翔机æµéƒ½åŒ…嫿»‘翔机时,æ‰ä¼šæœ‰è¾“出æµã€‚ä½†å¦‚æžœåªæœ‰å…¶ä¸­ä¸€è‚¡æœ‰ï¼Œé‚£ä¹ˆä»€ä¹ˆä¹Ÿå‡ºä¸æ¥ã€‚所以他们å¯ä»¥å»ºé€ ç±»ä¼¼é‚£æ ·çš„东西。一旦你能够建造这些基础门,那么仅仅从软件工程的角度,你几乎å¯ä»¥å»ºé€ ä»»ä½•东西。你å¯ä»¥å»ºé€ ä¸€å°å›¾çµæœºã€‚æˆ‘çš„æ„æ€æ˜¯ï¼Œå®ƒå°±åƒä¸€ä¸ªå·¨å¤§çš„蒸汽朋克å¼è£…置。它们看起æ¥å¾ˆè’谬。 陶哲轩: ä½†åŽæ¥äººä»¬åœ¨ç”Ÿå‘½æ¸¸æˆä¸­ä¹Ÿç”Ÿæˆäº†è‡ªæˆ‘å¤åˆ¶çš„物体。一å°å·¨å¤§çš„æœºå™¨ï¼Œä¸€å°äºŒé¡¹å¼æœºå™¨ï¼Œå®ƒåœ¨æ¼«é•¿çš„æ—¶é—´é‡Œï¼Œå†…部总有å°åž‹çš„æ»‘ç¿”å­æžªè¿›è¡Œç€è¿™äº›éžå¸¸è’¸æ±½æœ‹å…‹å¼çš„计算,它会创造出自身的å¦ä¸€ä¸ªç‰ˆæœ¬ï¼Œè¿™ä¸ªç‰ˆæœ¬èƒ½å¤Ÿè‡ªæˆ‘å¤åˆ¶ã€‚这真是令人难以置信。实际上,其中很多都是由业余数学家通过社区众包完æˆçš„。所以我对那项工作有所了解。因此,这也是我æå‡ºå¯¹çº³ç»´-斯托克斯方程åšåŒæ ·äº‹æƒ…çš„éƒ¨åˆ†çµæ„Ÿæ¥æºã€‚模拟远ä¸å¦‚数字。你ä¸èƒ½ç›´æŽ¥æ‹¿â€œç”Ÿå‘½æ¸¸æˆâ€ä¸­çš„æž„造并照æ¬è¿‡æ¥ã€‚但è¯åˆè¯´å›žæ¥ï¼Œè¿™åªè¡¨æ˜Žå®ƒæ˜¯å¯èƒ½çš„。 莱克斯: 你知é“,这些元胞自动机中会å‘生æŸç§æ¶ŒçŽ°çŽ°è±¡ã€‚å±€éƒ¨è§„åˆ™ï¼Œä¹Ÿè®¸ä¸Žæµä½“类似,我ä¸çŸ¥é“,但大规模è¿è¡Œçš„局部规则å¯ä»¥åˆ›é€ å‡ºè¿™äº›æžå…¶å¤æ‚的动æ€ç»“构。你认为其中任何一部分适åˆè¿›è¡Œæ•°å­¦åˆ†æžå—?我们有工具对此进行深入é˜è¿°å—? 陶哲轩: 问题是,你å¯ä»¥èŽ·å¾—è¿™ç§æ¶ŒçŽ°çš„ã€éžå¸¸å¤æ‚çš„ç»“æž„ï¼Œä½†åªæœ‰åœ¨åˆå§‹æ¡ä»¶ç»è¿‡éžå¸¸ç²¾å¿ƒå‡†å¤‡çš„æƒ…况下æ‰è¡Œã€‚所以这些滑翔机枪ã€é€»è¾‘é—¨å’Œè½¯ä»¶æœºå™¨ï¼Œå¦‚æžœä½ åªæ˜¯éšæœºåœ°åœ¨â€œç”Ÿå‘½æ¸¸æˆâ€ä¸­æ”¾ç½®ä¸€äº›ç»†èƒžï¼Œä½ å°†çœ‹ä¸åˆ°ä»»ä½•这些东西。这就是与纳维-æ–¯æ‰˜å…‹æ–¯æ–¹ç¨‹å†æ¬¡ç±»æ¯”的情况。在典型的åˆå§‹æ¡ä»¶ä¸‹ï¼Œä½ ä¸ä¼šé‡åˆ°ä»»ä½•è¿™ç§å¥‡æ€ªçš„计算。但基本上,通过工程设计,以éžå¸¸ç‰¹æ®Šçš„æ–¹å¼ä¸“门设计事物,你å¯ä»¥åšå‡ºå·§å¦™çš„æž„造。 陶哲轩: 这是数学中一个åå¤å‡ºçŽ°çš„æŒ‘æˆ˜ï¼Œæˆ‘ç§°ä¹‹ä¸ºç»“æž„ä¸Žéšæœºæ€§ä¹‹é—´çš„二元对立。å³ä½ åœ¨æ•°å­¦ä¸­ç”Ÿæˆçš„å¤§å¤šæ•°å¯¹è±¡éƒ½æ˜¯éšæœºçš„ã€‚å®ƒä»¬çœ‹èµ·æ¥æ˜¯éšæœºçš„ï¼Œæ¯”å¦‚åœ†å‘¨çŽ‡çš„å„使•°å­—。嗯,我们认为这是一个很好的例å­ã€‚ä½†åªæœ‰æžå°‘数事物具有模å¼ã€‚ä½ å¯ä»¥é€šè¿‡æž„造它æ¥è¯æ˜ŽæŸç‰©å…·æœ‰æ¨¡å¼ã€‚如果æŸç‰©å…·æœ‰ç®€å•的模å¼ï¼Œå¹¶ä¸”ä½ æœ‰ä¸€ä¸ªè¯æ˜Žè¡¨æ˜Žå®ƒä¼šæ¯éš”一段时间é‡å¤è‡ªèº«ï¼Œä½ å°±å¯ä»¥åšåˆ°è¿™ä¸€ç‚¹ã€‚ä½ å¯ä»¥è¯æ˜Žå¤§å¤šæ•°æ•°å­—åºåˆ—æ²¡æœ‰è§„å¾‹ã€‚å¦‚æžœä½ åªæ˜¯éšæœºé€‰å–æ•°å­—,有一个称为大数定律的法则告诉你,从长远æ¥çœ‹ï¼Œä½ å¾—到的一的数é‡ä¼šå’ŒäºŒçš„æ•°é‡ä¸€æ ·å¤šã€‚ 陶哲轩: 如果我给你一个特定的模å¼ï¼Œæ¯”如圆周率的数字,我如何æ‰èƒ½è¯æ˜Žå®ƒä¸åŒ…嫿Ÿç§å¥‡æ€ªçš„æ¨¡å¼å‘¢ï¼Ÿæˆ‘æŠ•å…¥å¤§é‡æ—¶é—´ä»Žäº‹çš„å¦ä¸€é¡¹å·¥ä½œæ˜¯è¯æ˜Žæ‰€è°“çš„ç»“æž„å®šç†æˆ–逆定ç†ï¼Œè¿™äº›å®šç†æä¾›äº†æ£€éªŒæŸç‰©ä½•时具有很强结构性的方法。 陶哲轩: 因此,有些函数被称为加性的。比如你有一个将自然数映射到自然数的函数,所以二å¯èƒ½æ˜ å°„åˆ°å››ï¼Œä¸‰æ˜ å°„åˆ°å…­ï¼Œä¾æ­¤ç±»æŽ¨ã€‚有些函数被称为加性的,这æ„味ç€å¦‚果你将两个输入相加,输出也会相应地相加。例如,我正在乘以一个常数。如果你将一个数字乘以10,如果你将a加b的结果乘以10,这等åŒäºŽå°†a乘以10,将b乘以10,然åŽå†å°†å®ƒä»¬ç›¸åŠ ã€‚å› æ­¤ï¼Œæœ‰äº›å‡½æ•°æ˜¯å¯åŠ çš„ã€‚ 陶哲轩: 有些函数是近似å¯åŠ çš„ï¼Œä½†ä¸æ˜¯å®Œå…¨å¯åŠ çš„ã€‚ä¸¾ä¾‹æ¥è¯´ï¼Œå¦‚果我å–一个数字n,将其乘以2的平方根,然åŽå–其整数部分。所以10乘以2的平方根大约是14点几。因此10å˜æˆäº†14,20å˜æˆäº†28ã€‚æ‰€ä»¥åœ¨è¿™ç§æƒ…况下,å¯åŠ æ€§æ˜¯æˆç«‹çš„。因此10加10是20,而14加14是28。但由于这ç§å–整,有时会出现èˆå…¥è¯¯å·®ã€‚有时当你将a加b时,这个函数ä¸èƒ½å®Œå…¨ç»™å‡ºä¸¤ä¸ªå•独输出的总和,而是总和加一或å‡ä¸€ã€‚所以它几乎是å¯åŠ çš„ï¼Œä½†å¹¶éžå®Œå…¨å¯åŠ ã€‚ 陶哲轩: 所以在数学中有许多有用的结果,而我也在很大程度上致力于å‘展这类ç†è®ºï¼Œå…¶å¤§æ„是,如果一个函数展现出æŸç§ç»“构,那么它基本上……它之所以æˆç«‹æ˜¯æœ‰åŽŸå› çš„ã€‚è€ŒåŽŸå› åœ¨äºŽï¼Œå­˜åœ¨æŸä¸ªä¸Žä¹‹ç›¸å…³çš„函数是完全有结构的,它解释了你所观察到的这ç§å±€éƒ¨æ¨¡å¼ã€‚ 莱克斯: 因此,如果你拥有这些逆定ç†ï¼Œå®ƒå°±ä¼šå½¢æˆä¸€ç§äºŒåˆ†æ³•:你所研究的对象è¦ä¹ˆå®Œå…¨æ²¡æœ‰ç»“构,è¦ä¹ˆä»¥æŸç§æ–¹å¼ä¸Žæœ‰ç»“构的事物相关è”。 陶哲轩: æ— è®ºå“ªç§æƒ…况,你都能å–å¾—è¿›å±•ã€‚ä¸€ä¸ªå¾ˆå¥½çš„ä¾‹å­æ˜¯ï¼Œæ•°å­¦ä¸­æœ‰ä¸€ä¸ªç»å…¸å®šç†ï¼Œå«åšå¡žè¿ˆé›·è¿ªå®šç†ï¼Œå®ƒåœ¨1970å¹´ä»£è¢«è¯æ˜Žã€‚它涉åŠåœ¨ä¸€ä¸ªæ•°é›†ä¸­å¯»æ‰¾æŸç§ç±»åž‹çš„æ¨¡å¼ã€‚这些模å¼å¿…须形æˆç­‰å·®æ•°åˆ—,例如3ã€5å’Œ7,或者10ã€15å’Œ20ã€‚å¡žè¿ˆé›·è¿ªè¯æ˜Žï¼Œä»»ä½•è¶³å¤Ÿå¤§çš„æ•°é›†ï¼Œå³æ‰€è°“具有正密度的数集,都包å«ä½ æƒ³è¦çš„ä»»æ„长度的等差数列。 陶哲轩: 例如,奇数集åˆçš„密度为二分之一,并且它们包å«ä»»æ„é•¿åº¦çš„ç­‰å·®æ•°åˆ—ã€‚åœ¨é‚£ç§æƒ…况下,这显而易è§ï¼Œå› ä¸ºå¥‡æ•°éžå¸¸æœ‰ç»“构性。我å¯ä»¥åªå–11ã€13ã€15ã€17。我å¯ä»¥è½»æ˜“地在该集åˆä¸­æ‰¾åˆ°ç­‰å·®æ•°åˆ—。但塞迈雷迪定ç†ä¹Ÿé€‚ç”¨äºŽéšæœºé›†åˆã€‚如果我å–奇数集åˆï¼Œç„¶åŽå¯¹æ¯ä¸ªæ•°å­—抛一次硬å¸ï¼Œæˆ‘åªä¿ç•™é‚£äº›æˆ‘抛出正é¢çš„æ•°å­—ã€‚å¥½çš„ï¼Œæˆ‘åªæ˜¯æŠ›ç¡¬å¸ï¼Œæˆ‘åªæ˜¯éšæœºå–å‡ºåŠæ•°æ•°å­—,我ä¿ç•™ä¸€åŠã€‚所以这是一个根本没有任何模å¼çš„集åˆã€‚ä½†ä»…ä»…ä»Žéšæœºæ³¢åŠ¨ä¸­ï¼Œä½ ä»ç„¶ä¼šåœ¨é‚£ä¸ªé›†åˆä¸­å¾—到很多等差数列。 陶哲轩: ä½ å¬è¯´è¿‡æ— é™çŒ´å­å®šç†å—?通常,数学家给定ç†èµ·çš„å字都很无趣,但å¶å°”他们也会起一些生动的å字。无é™çŒ´å­å®šç†çš„é€šä¿—è¯´æ³•æ˜¯ï¼Œå¦‚æžœä½ æœ‰æ— é™æ•°é‡çš„猴å­ï¼Œæ¯åªçŒ´å­ä¸€å°æ‰“字机,它们å¯ä»¥éšæœºæ•²å‡ºæ–‡æœ¬ã€‚å‡ ä¹Žå¯ä»¥è‚¯å®šï¼Œå…¶ä¸­ä¸€åªçŒ´å­å°†ä¼šæ•²å‡ºã€Šå“ˆå§†é›·ç‰¹ã€‹çš„全部内容,或任何其他有é™çš„æ–‡æœ¬ä¸²ã€‚è¿™åªæ˜¯éœ€è¦ä¸€äº›æ—¶é—´ï¼Œå®žé™…上是相当长的时间。但如果你有无é™çš„æ•°é‡ï¼Œé‚£ä¹ˆå®ƒå°±ä¼šå‘ç”Ÿã€‚æ‰€ä»¥åŸºæœ¬ä¸Šï¼Œè¯¥å®šç†æŒ‡å‡ºï¼Œå¦‚果你å–一个无é™é•¿çš„æ•°å­—串或其他什么,最终你想è¦çš„ä»»ä½•æœ‰é™æ¨¡å¼éƒ½å°†å‡ºçŽ°ã€‚è¿™å¯èƒ½éœ€è¦å¾ˆé•¿æ—¶é—´ï¼Œä½†å®ƒæœ€ç»ˆä¼šå‘生。尤其地,任何长度的等差数列最终都会出现,但这需è¦ä¸€ä¸ªæžå…¶é•¿çš„éšæœºåºåˆ—æ‰èƒ½å®žçŽ°ã€‚ 莱克斯: 现实生活中没有什么是真正无é™çš„,但你å¯ä»¥é—®è‡ªå·±è¿™æ ·çš„问题:如果我想è¦å¤šå°‘钱就有多少钱,或者如果我想跑多快就跑多快,那会怎样? 陶哲轩: 数学家将此形å¼åŒ–的方法是:数学找到了一个形å¼ä½“系,å¯ä»¥ç†æƒ³åŒ–地将æŸä¸ªæžå…¶å¤§æˆ–æžå…¶å°çš„é‡ï¼Œç²¾ç¡®åœ°å˜ä¸ºæ— ç©·å¤§æˆ–é›¶ã€‚é€šå¸¸ï¼Œå½“ä½ è¿™æ ·åšæ—¶ï¼Œæ•°å­¦ä¼šå˜å¾—简æ´å¾ˆå¤šã€‚在物ç†å­¦ä¸­ï¼Œæˆ‘们开玩笑说å‡è®¾çƒå½¢å¥¶ç‰›ã€‚现实世界的问题存在å„ç§å®žé™…效应,但你å¯ä»¥å°†å…¶ç†æƒ³åŒ–,将æŸäº›é‡æŽ¨å‘无穷大,将å¦ä¸€äº›é‡æŽ¨å‘零,这样数学处ç†èµ·æ¥å°±ä¼šç®€å•得多。 陶哲轩: æ˜¯çš„ï¼Œæ‰€ä»¥æœ‰å¾ˆå¤šé™·é˜±ã€‚æˆ‘ä»¬åœ¨æœ¬ç§‘æ•°å­¦è¯¾ä¸ŠèŠ±è´¹å¤§é‡æ—¶é—´æ•™æŽˆåˆ†æžå­¦ï¼Œè€Œåˆ†æžå­¦é€šå¸¸æ˜¯å…³äºŽå¦‚何喿žé™çš„。例如,a加b总是等于b加a。因此,当你拥有有é™é¡¹æ—¶ï¼Œä½ å¯ä»¥æŠŠå®ƒä»¬åŠ èµ·æ¥ï¼Œä¹Ÿå¯ä»¥äº¤æ¢å®ƒä»¬çš„顺åºï¼Œæ²¡æœ‰ä»»ä½•问题。但是,当你拥有无é™é¡¹æ—¶ï¼Œä½ å°±å¯ä»¥çŽ©å¼„è¿™äº›èŠ±æ‹›ï¼Œä¸€ä¸ªçº§æ•°å¯èƒ½æ”¶æ•›äºŽä¸€ä¸ªå€¼ï¼Œä½†ä½ é‡æ–°æŽ’列它,它å´çªç„¶æ”¶æ•›åˆ°å¦ä¸€ä¸ªå€¼ã€‚所以你å¯èƒ½ä¼šçŠ¯é”™è¯¯ã€‚å½“ä½ å…许使用无穷概念时,你必须清楚自己在åšä»€ä¹ˆã€‚你必须引入这些ε和δ,而且有一ç§ç‰¹å®šçš„æŽ¨ç†æ–¹å¼å¯ä»¥å¸®åЩ你é¿å…错误。 陶哲轩: è¿‘äº›å¹´ï¼Œäººä»¬å¼€å§‹å°†é‚£äº›åœ¨æ— é™æžé™ä¸‹æˆç«‹çš„结果进行所谓的有é™åŒ–处ç†ã€‚æ‰€ä»¥ä½ æœ€ç»ˆä¼šçŸ¥é“æŸä»¶äº‹æ˜¯çœŸçš„,但你ä¸çŸ¥é“æ˜¯ä½•æ—¶ã€‚çŽ°åœ¨ç»™æˆ‘ä¸€ä¸ªé€ŸçŽ‡ã€‚é‚£ä¹ˆï¼Œå¦‚æžœæˆ‘æ²¡æœ‰æ— é™æ•°é‡çš„猴å­ï¼Œè€Œæ˜¯å¤§é‡çš„æœ‰é™æ•°é‡çš„猴å­ï¼Œæˆ‘需è¦ç­‰å¤šä¹…《哈姆雷特》æ‰èƒ½å‡ºçŽ°ï¼Ÿé‚£æ˜¯ä¸€ä¸ªæ›´å…·å®šé‡æ€§è´¨çš„问题。而这是你å¯ä»¥çº¯ç²¹é€šè¿‡æœ‰é™æ–¹æ³•æ¥å¤„ç†çš„问题,并且你å¯ä»¥è¿ç”¨ä½ çš„æœ‰é™ç›´è§‰ã€‚åœ¨è¿™ç§æƒ…况下,结果表明它与你试图生æˆçš„æ–‡æœ¬é•¿åº¦å‘ˆæŒ‡æ•°å…³ç³»ã€‚这就是为什么你从æ¥çœ‹ä¸åˆ°çŒ´å­åˆ›ä½œå‡ºã€Šå“ˆå§†é›·ç‰¹ã€‹ã€‚你也许能看到它们创造出一个四个字æ¯çš„å•è¯ï¼Œä½†ç»æ²¡æœ‰é‚£ä¹ˆå¤§çš„作å“。所以我个人认为,一旦你将一个无é™çš„陈述有é™åŒ–,它就会å˜å¾—更直观,也ä¸å†é‚£ä¹ˆå¥‡æ€ªäº†ã€‚ 陶哲轩: 是的。ä¸åˆ©ä¹‹å¤„在于,有é™åŒ–è¯æ˜Žè¦æ··ä¹±å¾—多。因此,无é™çš„è¯æ˜Žé€šå¸¸ä¼šå…ˆè¢«å‘现,通常会早几å年,然åŽäººä»¬å†å°†å®ƒä»¬æœ‰é™åŒ–。 莱克斯: 既然我们æåˆ°äº†å¾ˆå¤šæ•°å­¦å’Œç‰©ç†ï¼Œé‚£ä¹ˆä½œä¸ºå­¦ç§‘,作为ç†è§£ä¸–界ã€çœ‹å¾…世界的方å¼ï¼Œæ•°å­¦å’Œç‰©ç†ä¹‹é—´æœ‰ä»€ä¹ˆåŒºåˆ«å‘¢ï¼Ÿä¹Ÿè®¸æˆ‘们å¯ä»¥æŠŠå·¥ç¨‹å­¦ä¹ŸåŠ è¿›åŽ»ã€‚ä½ æåˆ°ä½ çš„妻孿˜¯ä¸€å工程师。这为电路æä¾›äº†æ–°çš„视角。那么,鉴于你从事过数ç†ç‰©ç†å­¦ï¼Œä½ çœ‹å¾…世界的方å¼å°±æœ‰æ‰€ä¸åŒã€‚你身兼多èŒã€‚ 陶哲轩: 没错。那么,我认为科学总的æ¥è¯´æ˜¯ä¸‰è€…ä¹‹é—´çš„ç›¸äº’ä½œç”¨ã€‚ä¸€æ˜¯çœŸå®žä¸–ç•Œï¼ŒäºŒæ˜¯æˆ‘ä»¬å¯¹çœŸå®žä¸–ç•Œçš„è§‚å¯Ÿï¼Œå³æˆ‘ä»¬çš„è§‚æµ‹ç»“æžœï¼Œç„¶åŽæ˜¯æˆ‘们关于世界如何è¿ä½œçš„å¿ƒç†æ¨¡åž‹ã€‚å› æ­¤ï¼Œæˆ‘ä»¬æ— æ³•ç›´æŽ¥æŽ¥è§¦çŽ°å®žã€‚æˆ‘ä»¬æ‰€æ‹¥æœ‰çš„åªæœ‰é‚£äº›ä¸å®Œæ•´ä¸”存在误差的观测结果。并且在许多许多情况下,我们å¯èƒ½æƒ³çŸ¥é“ï¼Œä¾‹å¦‚ï¼Œæ˜Žå¤©çš„å¤©æ°”å¦‚ä½•ï¼Ÿè€Œæˆ‘ä»¬å°šæœªèŽ·å¾—æˆ‘ä»¬å¸Œæœ›é¢„æµ‹çš„è§‚æµ‹ç»“æžœã€‚ç„¶åŽæˆ‘们有这些简化模型,有时会åšå‡ºä¸åˆ‡å®žé™…çš„å‡è®¾ï¼Œä½ çŸ¥é“,就åƒçƒå½¢å¥¶ç‰›ä¹‹ç±»çš„东西。那些就是数学模型。 陶哲轩: 数学关注的是模型。科学收集观测结果,并æå‡ºå¯èƒ½è§£é‡Šè¿™äº›è§‚测结果的模型。数学所åšçš„æ˜¯ï¼Œæˆ‘们åœç•™åœ¨æ¨¡åž‹ä¹‹å†…,并询问该模型会产生什么结果?模型会针对未æ¥çš„观测或过去的观测åšå‡ºä»€ä¹ˆæ ·çš„观测结果,什么样的预测?它符åˆè§‚测数æ®å—?所以,这确实是一ç§å…±ç”Ÿå…³ç³»ã€‚我想数学在其他学科中是独特的,因为我们从å‡è®¾å¼€å§‹ï¼Œæ¯”如一个模型的公ç†ï¼Œç„¶åŽè¯¢é—®ä»Žè¯¥æ¨¡åž‹ä¸­èƒ½å¾—出什么结论。在几乎所有其他学科中,你都是从结论开始,比如我想åšè¿™ä¸ªï¼Œæˆ‘想建一座桥,我想赚钱,我想åšè¿™ä¸ªï¼Œç„¶åŽä½ æ‰¾åˆ°å®žçŽ°ç›®æ ‡çš„è·¯å¾„ã€‚å¾ˆå°‘æœ‰äººä¼šæŽ¨æµ‹â€œå‡è®¾æˆ‘这样åšï¼Œä¼šå‘生什么?â€è§„划与建模。也许,科幻å°è¯´æ˜¯å¦ä¸€ä¸ªç‰¹ä¾‹ã€‚但实际上,也就这些了。我们生活中所åšçš„大多数事情都是结果导å‘的,包括物ç†å­¦å’Œç§‘å­¦ã€‚æˆ‘çš„æ„æ€æ˜¯ï¼Œä»–们想知é“这颗å°è¡Œæ˜Ÿä¼šåŽ»å“ªé‡Œï¼Ÿæ˜Žå¤©çš„å¤©æ°”ä¼šæ€Žæ ·ï¼Ÿä½†æ•°å­¦ä¹Ÿæœ‰å¦ä¸€ä¸ªæ–¹å‘,那就是从公ç†å‡ºå‘。 莱克斯: 你认为,在物ç†å­¦ä¸­ï¼Œç†è®ºä¸Žå®žéªŒä¹‹é—´å­˜åœ¨ç€è¿™ç§å¼ åŠ›ã€‚ä½ è®¤ä¸ºå“ªç§æ–¹å¼æ›´èƒ½æœ‰æ•ˆåœ°å‘现关于现实的真正新颖的想法? 陶哲轩: 嗯,你需è¦ä¸¤è€…兼备,自上而下和自下而上。这实际上是所有这些事物之间的相互作用。因此,éšç€æ—¶é—´çš„æŽ¨ç§»ï¼Œè§‚测ã€ç†è®ºå’Œå»ºæ¨¡éƒ½åº”该更接近现实。但最åˆï¼Œæƒ…况总是如此,它们一开始总是相è·ç”šè¿œï¼Œä½†ä½ éœ€è¦å…¶ä¸­ä¸€ä¸ªæ¥å¼„清楚如何推动å¦ä¸€ä¸ªã€‚如果你的模型预测到实验未能å‘现的异常,这会指示实验人员去哪里寻找更多数æ®ï¼Œä»¥å®Œå–„模型。这是一个åå¤å¾€å¤çš„过程。 陶哲轩: 在数学本身内部,也存在ç†è®ºå’Œå®žéªŒçš„组æˆéƒ¨åˆ†ã€‚åªä¸è¿‡ï¼Œç›´åˆ°æœ€è¿‘,ç†è®ºæ‰å‡ ä¹Žå®Œå…¨å æ®ä¸»å¯¼åœ°ä½ã€‚99% 的数学是ç†è®ºæ•°å­¦ï¼Œè€Œå®žéªŒæ•°å­¦çš„æ•°é‡éžå¸¸å°‘。人们确实在åšã€‚如果他们想研究质数或类似的东西,他们å¯ä»¥ç”Ÿæˆå¤§é‡æ•°æ®é›†ã€‚所以一旦我们有了计算机,我们就开始åšäº†ä¸€ç‚¹ã€‚尽管甚至在高斯之å‰ï¼Œä¾‹å¦‚,他猜想了数论中最基本的定ç†ï¼Œç§°ä¸ºè´¨æ•°å®šç†ï¼Œè¯¥å®šç†é¢„æµ‹äº†ä»Žä¸€ç™¾ä¸‡åˆ°ä¸€ä¸‡äº¿æœ‰å¤šå°‘ä¸ªè´¨æ•°ã€‚è¿™ä¸æ˜¯ä¸€ä¸ªæ˜¾è€Œæ˜“è§çš„问题。基本上,他所åšçš„æ˜¯ï¼Œä¸»è¦é è‡ªå·±è®¡ç®—,但也雇佣了人工计算员——那些以算术计算为专业工作的人——æ¥è®¡ç®—å‰100,000个质数或类似数字,并制作了表格,åšå‡ºäº†é¢„测。那是实验数学的一个早期例å­ã€‚ 陶哲轩: 但ç